Номер 13, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. В одной системе координат постройте графики функций:

$y = -(x + 5)^2$; $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$; $y = -2(x - 6)^2 + 3$; $y = (x - 1)^2 + 2.$

Какая из данных функций является четной?

Задача состоит из двух частей: построение графиков четырех квадратичных функций и определение, какая из них является четной. Для построения графиков, которые являются параболами, найдем для каждой функции координаты вершины и направление ветвей. Для определения четности проверим выполнение условия $f(-x) = f(x)$.

y = -(x + 5)²;

Графиком данной функции является парабола. Проанализируем ее уравнение, приведенное к виду $y = a(x - h)^2 + k$.

• Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины $(h; k)$ равны $(-5; 0)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -5$.
• Для более точного построения найдем несколько точек на графике:
  • при $x = -4$, $y = -(-4 + 5)^2 = -1^2 = -1$. Точка $(-4; -1)$.
  • при $x = -6$, $y = -(-6 + 5)^2 = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-6; -1)$.

Ответ: парабола с вершиной в точке $(-5; 0)$, ветви которой направлены вниз.

y = $\frac{1}{2}x^2 - 4$;

Графиком данной функции является парабола. Проанализируем ее уравнение.

• Коэффициент $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины $(h; k)$ равны $(0; -4)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x = 0$, что совпадает с осью ординат (осью Oy).
• Найдем несколько точек на графике:
  • при $x = 2$, $y = \frac{1}{2}(2)^2 - 4 = 2 - 4 = -2$. Точка $(2; -2)$.
  • при $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2)^2 - 4 = 2 - 4 = -2$. Точка $(-2; -2)$.

Ответ: парабола с вершиной в точке $(0; -4)$, ветви которой направлены вверх.

y = -2(x - 6)² + 3;

Графиком данной функции является парабола. Проанализируем ее уравнение.

• Коэффициент $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Парабола "уже" (более вытянута вдоль оси симметрии), чем парабола $y = -x^2$.
• Координаты вершины $(h; k)$ равны $(6; 3)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 6$.
• Найдем несколько точек на графике:
  • при $x = 5$, $y = -2(5 - 6)^2 + 3 = -2(-1)^2 + 3 = 1$. Точка $(5; 1)$.
  • при $x = 7$, $y = -2(7 - 6)^2 + 3 = -2(1)^2 + 3 = 1$. Точка $(7; 1)$.

Ответ: парабола с вершиной в точке $(6; 3)$, ветви которой направлены вниз.

y = (x - 1)² + 2.

Графиком данной функции является парабола. Проанализируем ее уравнение.

• Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Координаты вершины $(h; k)$ равны $(1; 2)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 1$.
• Найдем несколько точек на графике:
  • при $x = 0$, $y = (0 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(0; 3)$.
  • при $x = 2$, $y = (2 - 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$. Точка $(2; 3)$.

Ответ: парабола с вершиной в точке $(1; 2)$, ветви которой направлены вверх.

Какая из данных функций является четной?

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Осью симметрии такой параболы должна быть прямая $x=0$.

Из анализа выше видно, что только у параболы $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$ ось симметрии совпадает с осью Oy. Проведем формальную проверку для каждой функции:

1. $f(x) = -(x + 5)^2$.
   $f(-x) = -(-x + 5)^2 = -(x - 5)^2$. Так как $f(-x) \neq f(x)$, функция не является четной.
2. $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4$.
   $f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 - 4 = \frac{1}{2}x^2 - 4$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
3. $f(x) = -2(x - 6)^2 + 3$.
   $f(-x) = -2(-x - 6)^2 + 3 = -2(-(x+6))^2 + 3 = -2(x+6)^2 + 3$. Так как $f(-x) \neq f(x)$, функция не является четной.
4. $f(x) = (x - 1)^2 + 2$.
   $f(-x) = (-x - 1)^2 + 2 = (-(x+1))^2 + 2 = (x+1)^2+2$. Так как $f(-x) \neq f(x)$, функция не является четной.

Ответ: четной является функция $y = \frac{1}{2}x^2 - 4$.