Номер 17, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

17. Решите уравнение:

а) $5(x-1)+3=3x-4;$

б) $\frac{x}{x^2-25}+\frac{4-x}{x-5}=0.$

а) Дано линейное уравнение:

$5(x - 1) + 3 = 3x - 4$

1. Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 5 на каждый член в скобках:

$5 \cdot x - 5 \cdot 1 + 3 = 3x - 4$

$5x - 5 + 3 = 3x - 4$

2. Приведем подобные слагаемые (константы) в левой части:

$5x - 2 = 3x - 4$

3. Теперь сгруппируем все члены с переменной $x$ в левой части, а все постоянные члены — в правой. Для этого вычтем $3x$ из обеих частей и прибавим 2 к обеим частям:

$5x - 3x = -4 + 2$

4. Упростим обе части уравнения:

$2x = -2$

5. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-2}{2}$

$x = -1$

Ответ: -1

б) Дано дробно-рациональное уравнение:

$\frac{x}{x^2 - 25} + \frac{4 - x}{x - 5} = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$x^2 - 25 \neq 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 5) \neq 0$, откуда $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Второй знаменатель: $x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 5$.

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Это и будет общий знаменатель. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x + 5)$:

$\frac{x}{(x - 5)(x + 5)} + \frac{(4 - x)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 0$

3. Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, мы можем сложить их числители:

$\frac{x + (4 - x)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 0$

4. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (это условие мы уже учли в ОДЗ). Приравниваем числитель к нулю:

$x + (4 - x)(x + 5) = 0$

5. Раскроем скобки в произведении $(4 - x)(x + 5)$:

$x + (4x + 20 - x^2 - 5x) = 0$

6. Приведем подобные слагаемые в скобках и затем во всем выражении:

$x + (-x^2 - x + 20) = 0$

$x - x^2 - x + 20 = 0$

$-x^2 + 20 = 0$

7. Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x^2 = 20$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{20}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Таким образом, получаем два корня: $x_1 = 2\sqrt{5}$ и $x_2 = -2\sqrt{5}$.

8. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq \pm 5$).

Поскольку $2\sqrt{5} \neq 5$ и $-2\sqrt{5} \neq -5$, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $\pm 2\sqrt{5}$