Номер 16, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

16. Сократите дробь $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 16}$.

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 16}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 2x - 8$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Используя теорему Виета, находим корни:

• $x_1 + x_2 = 2$
• $x_1 \cdot x_2 = -8$

Корнями являются числа $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, разложение числителя на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$ выглядит так: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x - (-2)) = (x - 4)(x + 2)$.

Далее разложим на множители знаменатель $x^2 - 16$. Это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)$.

Теперь подставим полученные разложения обратно в дробь и выполним сокращение:
$\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 16} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{(x - 4)(x + 4)}$

Сокращаем общий множитель $(x - 4)$, при условии, что $x \neq 4$:
$\frac{\cancel{(x - 4)}(x + 2)}{\cancel{(x - 4)}(x + 4)} = \frac{x + 2}{x + 4}$

Полученная дробь $\frac{x + 2}{x + 4}$ является неправильной, так как степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Выделим целую часть, представив числитель в виде суммы знаменателя и остатка:
$\frac{x + 2}{x + 4} = \frac{(x + 4) - 2}{x + 4} = \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{2}{x + 4} = 1 - \frac{2}{x + 4}$.

Ответ: $1 - \frac{2}{x + 4}$