Номер 23, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

23. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения $(3-\sqrt{2})^2 + \sqrt{(8-6\sqrt{2})^2}$.

Чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо его упростить. Выполним упрощение по шагам.

1. Упрощение первого слагаемого $(3-\sqrt{2})^2$

Используем формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(3-\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2$.

Ответ: $11 - 6\sqrt{2}$.

2. Упрощение второго слагаемого $\sqrt{(8-6\sqrt{2})^2}$

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{(8-6\sqrt{2})^2} = |8 - 6\sqrt{2}|$.

Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак подмодульного выражения $8 - 6\sqrt{2}$. Для этого сравним числа $8$ и $6\sqrt{2}$ путем сравнения их квадратов:

$8^2 = 64$

$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$

Так как $64 < 72$, то $8 < 6\sqrt{2}$, и, следовательно, выражение $8 - 6\sqrt{2}$ отрицательно.

По определению модуля, если выражение отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|8 - 6\sqrt{2}| = -(8 - 6\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 8$.

Ответ: $6\sqrt{2} - 8$.

3. Вычисление итогового значения выражения

Сложим результаты, полученные на предыдущих шагах:

$(11 - 6\sqrt{2}) + (6\sqrt{2} - 8) = 11 - 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 8$.

Приведем подобные слагаемые: $(11 - 8) + (-6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 3 + 0 = 3$.

Ответ: $3$.

4. Определение типа полученного числа

Значение выражения равно 3. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 3 можно представить в виде дроби $\frac{3}{1}$, поэтому оно является рациональным.

Ответ: Рациональное число.