Номер 1.4, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.4. Начертите единичную окружность и постройте точки, получаемые поворотом точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол:

а) $150^\circ; 210^\circ; 540^\circ; -45^\circ; -135^\circ; -720^\circ;$

б) $-43^\circ; 137^\circ; -456^\circ; 280^\circ; -189^\circ; 763^\circ;$

Для решения задачи начертим единичную окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом R=1. Начальная точка $P_0$ имеет координаты (1; 0). Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке. Конечная точка $P_\alpha$ после поворота на угол $\alpha$ имеет координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$.

Ниже представлено изображение единичной окружности с построенными точками для обоих подпунктов.

На графике точки для пункта а) отмечены синим цветом, а для пункта б) — красным.

а) Разберем каждый угол:

• $150^\circ$: Угол находится в диапазоне $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$, следовательно, точка расположена во II координатной четверти.
• $210^\circ$: Угол находится в диапазоне $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$, следовательно, точка расположена в III координатной четверти.
• $540^\circ$: Этот угол больше $360^\circ$, значит, точка совершает полный оборот и продолжает движение. Чтобы найти её положение, вычтем полные обороты ($360^\circ$): $540^\circ = 360^\circ + 180^\circ$. Таким образом, положение точки соответствует углу $180^\circ$ и она лежит на отрицательной части оси Ox. При делении на $360^\circ$ получаем: $\frac{540}{360} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$. Целая часть: 1.
• $-45^\circ$: Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке. Точка расположена в IV координатной четверти. Этот угол соответствует $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$.
• $-135^\circ$: Движение по часовой стрелке. Угол находится в диапазоне $-180^\circ < -135^\circ < -90^\circ$, следовательно, точка расположена в III координатной четверти. Этот угол соответствует $360^\circ - 135^\circ = 225^\circ$.
• $-720^\circ$: Движение по часовой стрелке. $-720^\circ = -2 \cdot 360^\circ$. Это два полных оборота по часовой стрелке, поэтому точка возвращается в исходное положение $P_0(1, 0)$ на положительной части оси Ox. При делении на $360^\circ$ получаем: $\frac{-720}{360} = -2$. Целая часть: -2.

Ответ: Точки построены на единичной окружности и их расположение определено по координатным четвертям.

б) Разберем каждый угол:

• $-43^\circ$: Движение по часовой стрелке. Точка расположена в IV координатной четверти.
• $137^\circ$: Угол находится в диапазоне $90^\circ < 137^\circ < 180^\circ$, следовательно, точка расположена во II координатной четверти.
• $-456^\circ$: Угол больше $360^\circ$ по модулю. $-456^\circ = -360^\circ - 96^\circ$. Положение точки соответствует углу $-96^\circ$, который находится в III координатной четверти. При делении на $360^\circ$ получаем: $\frac{-456}{360} = -\frac{19}{15} = -1\frac{4}{15}$. Целая часть: -1.
• $280^\circ$: Угол находится в диапазоне $270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$, следовательно, точка расположена в IV координатной четверти.
• $-189^\circ$: Движение по часовой стрелке. Угол находится в диапазоне $-270^\circ < -189^\circ < -180^\circ$, следовательно, точка расположена во II координатной четверти (проходит $-180^\circ$ и еще $9^\circ$ по часовой стрелке).
• $763^\circ$: Угол больше $360^\circ$. $763^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 43^\circ$. Положение точки соответствует углу $43^\circ$, который находится в I координатной четверти. При делении на $360^\circ$ получаем: $\frac{763}{360} = 2\frac{43}{360}$. Целая часть: 2.

Ответ: Точки построены на единичной окружности и их расположение определено по координатным четвертям.