Номер 1.7, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.7. Среди углов поворота $\alpha$, равных $770^{\circ}$; $480^{\circ}$; $-50^{\circ}$; $1560^{\circ}$; $-240^{\circ}$; $-310^{\circ}$, найдите такие, для которых точка $P_{\alpha}$ совпадает с точкой:

а) $P_{50^{\circ}}$;

б) $P_{120^{\circ}}$.

Для того чтобы точка $P_\alpha$, соответствующая углу поворота $\alpha$, совпала с точкой $P_\beta$, соответствующей углу $\beta$, необходимо, чтобы их углы отличались на целое число полных оборотов. Математически это выражается формулой:

$\alpha = \beta + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Это условие равносильно тому, что разность углов $(\alpha - \beta)$ делится на $360^\circ$ без остатка, то есть частное $\frac{\alpha - \beta}{360^\circ}$ является целым числом.

Проверим каждый из предложенных углов: $770^\circ; 480^\circ; -50^\circ; 1560^\circ; -240^\circ; -310^\circ$.

а) P_50°

В этом случае $\beta = 50^\circ$. Проверим, для каких из заданных углов $\alpha$ частное $\frac{\alpha - 50^\circ}{360^\circ}$ является целым числом.

• Для $\alpha = 770^\circ$:
  $\frac{770^\circ - 50^\circ}{360^\circ} = \frac{720^\circ}{360^\circ} = 2$.
  Результат — целое число, следовательно, угол $770^\circ$ подходит.
• Для $\alpha = 480^\circ$:
  $\frac{480^\circ - 50^\circ}{360^\circ} = \frac{430^\circ}{360^\circ} = \frac{43}{36} = 1\frac{7}{36}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.
• Для $\alpha = -50^\circ$:
  $\frac{-50^\circ - 50^\circ}{360^\circ} = \frac{-100^\circ}{360^\circ} = -\frac{10}{36} = -\frac{5}{18}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.
• Для $\alpha = 1560^\circ$:
  $\frac{1560^\circ - 50^\circ}{360^\circ} = \frac{1510^\circ}{360^\circ} = \frac{151}{36} = 4\frac{7}{36}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.
• Для $\alpha = -240^\circ$:
  $\frac{-240^\circ - 50^\circ}{360^\circ} = \frac{-290^\circ}{360^\circ} = -\frac{29}{36}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.
• Для $\alpha = -310^\circ$:
  $\frac{-310^\circ - 50^\circ}{360^\circ} = \frac{-360^\circ}{360^\circ} = -1$.
  Результат — целое число, следовательно, угол $-310^\circ$ подходит.

Ответ: $770^\circ, -310^\circ$.

б) P_120°

В этом случае $\beta = 120^\circ$. Проверим, для каких из заданных углов $\alpha$ частное $\frac{\alpha - 120^\circ}{360^\circ}$ является целым числом.

• Для $\alpha = 770^\circ$:
  $\frac{770^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \frac{650^\circ}{360^\circ} = \frac{65}{36} = 1\frac{29}{36}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.
• Для $\alpha = 480^\circ$:
  $\frac{480^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \frac{360^\circ}{360^\circ} = 1$.
  Результат — целое число, следовательно, угол $480^\circ$ подходит.
• Для $\alpha = -50^\circ$:
  $\frac{-50^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \frac{-170^\circ}{360^\circ} = -\frac{17}{36}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.
• Для $\alpha = 1560^\circ$:
  $\frac{1560^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \frac{1440^\circ}{360^\circ} = 4$.
  Результат — целое число, следовательно, угол $1560^\circ$ подходит.
• Для $\alpha = -240^\circ$:
  $\frac{-240^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \frac{-360^\circ}{360^\circ} = -1$.
  Результат — целое число, следовательно, угол $-240^\circ$ подходит.
• Для $\alpha = -310^\circ$:
  $\frac{-310^\circ - 120^\circ}{360^\circ} = \frac{-430^\circ}{360^\circ} = -\frac{43}{36} = -1\frac{7}{36}$.
  Результат — не целое число, следовательно, угол не подходит.

Ответ: $480^\circ, 1560^\circ, -240^\circ$.