Номер 1.6, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.6. Запишите два положительных и два отрицательных угла $\alpha$, для которых точка $P_\alpha$ совпадает с точкой:

а) $P_{45^{\circ}}$;

б) $P_{-330^{\circ}}$.

Точка $P_\alpha$ на единичной окружности совпадает с точкой $P_\beta$, если угол $\alpha$ отличается от угла $\beta$ на целое число полных оборотов. Полный оборот составляет $360^\circ$. Следовательно, все углы $\alpha$, для которых точка $P_\alpha$ совпадает с $P_\beta$, можно найти по общей формуле: $$ \alpha = \beta + 360^\circ \cdot k, \quad \text{где } k \text{ — любое целое число } (k \in \mathbb{Z}) $$

а) Для точки $P_{45^\circ}$ формула для нахождения совпадающих углов $\alpha$ будет: $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Чтобы найти два положительных угла, возьмем положительные целые значения для $k$:

• При $k=1$: $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 405^\circ$
• При $k=2$: $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 45^\circ + 720^\circ = 765^\circ$

Чтобы найти два отрицательных угла, возьмем отрицательные целые значения для $k$:

• При $k=-1$: $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 45^\circ - 360^\circ = -315^\circ$
• При $k=-2$: $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 45^\circ - 720^\circ = -675^\circ$

Ответ: Положительные углы: $405^\circ, 765^\circ$. Отрицательные углы: $-315^\circ, -675^\circ$.

б) Для точки $P_{-330^\circ}$ формула будет: $\alpha = -330^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Для удобства вычислений сначала найдем соответствующий положительный угол в пределах первого оборота (от $0^\circ$ до $360^\circ$). Для этого подставим $k=1$: $$ \alpha = -330^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 30^\circ $$ Таким образом, точка $P_{-330^\circ}$ совпадает с точкой $P_{30^\circ}$. Теперь будем находить остальные углы, используя более простую формулу: $\alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot k$.

Чтобы найти два положительных угла, возьмем неотрицательные целые значения для $k$:

• При $k=0$: $\alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 30^\circ$
• При $k=1$: $\alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 390^\circ$

Чтобы найти два отрицательных угла, возьмем отрицательные целые значения для $k$:

• При $k=-1$: $\alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 30^\circ - 360^\circ = -330^\circ$
• При $k=-2$: $\alpha = 30^\circ + 360^\circ \cdot (-2) = 30^\circ - 720^\circ = -690^\circ$

Ответ: Положительные углы: $30^\circ, 390^\circ$. Отрицательные углы: $-330^\circ, -690^\circ$.