Номер 1.13, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.13. Начертите единичную окружность и постройте точки, получаемые поворотом точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол: $\frac{\pi}{6}$; $-\frac{\pi}{4}$; $\frac{3\pi}{2}$; $\frac{7\pi}{6}$; $-\frac{9\pi}{4}$; $-\frac{7\pi}{6}$. Сколько различных точек получилось?

Для решения задачи мы будем поворачивать начальную точку $P_0(1; 0)$ на единичной окружности на заданные углы. Единичная окружность имеет центр в начале координат (0, 0) и радиус 1. Положительные углы соответствуют повороту против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Координаты $(x, y)$ точки, полученной поворотом на угол $\alpha$, вычисляются по формулам: $x = \cos(\alpha)$, $y = \sin(\alpha)$.

Найдем координаты точек для каждого угла.

$\frac{\pi}{6}$
Поворот на угол $\frac{\pi}{6}$ (30°) против часовой стрелки помещает точку $P_1$ в первую координатную четверть.
Координаты точки: $P_1(\cos(\frac{\pi}{6}), \sin(\frac{\pi}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: Точка $P_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

$-\frac{\pi}{4}$
Поворот на угол $\frac{\pi}{4}$ (45°) по часовой стрелке помещает точку $P_2$ в четвертую координатную четверть.
Координаты точки: $P_2(\cos(-\frac{\pi}{4}), \sin(-\frac{\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Точка $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

$\frac{3\pi}{2}$
Поворот на угол $\frac{3\pi}{2}$ (270°) против часовой стрелки. Дробь $\frac{3}{2}$ является неправильной, выделим целую часть: $\frac{3}{2}\pi = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$. Это поворот на $\pi$ и еще на $\frac{\pi}{2}$. Точка $P_3$ оказывается на отрицательной полуоси OY.
Координаты точки: $P_3(\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1)$.
Ответ: Точка $P_3(0, -1)$.

$\frac{7\pi}{6}$
Поворот на угол $\frac{7\pi}{6}$ (210°) против часовой стрелки. Выделим целую часть: $\frac{7}{6}\pi = \mathbf{1}\frac{1}{6}\pi = \pi + \frac{\pi}{6}$. Точка $P_4$ помещается в третью координатную четверть.
Координаты точки: $P_4(\cos(\frac{7\pi}{6}), \sin(\frac{7\pi}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.
Ответ: Точка $P_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$.

$-\frac{9\pi}{4}$
Поворот на угол $\frac{9\pi}{4}$ по часовой стрелке. Выделим целую часть: $-\frac{9}{4}\pi = -\mathbf{2}\frac{1}{4}\pi = -2\pi - \frac{\pi}{4}$. Это означает полный оборот ($-2\pi$) по часовой стрелке и затем дополнительный поворот на $\frac{\pi}{4}$ по часовой стрелке. Таким образом, конечное положение точки $P_5$ совпадает с положением точки от угла $-\frac{\pi}{4}$.
Координаты точки: $P_5(\cos(-\frac{9\pi}{4}), \sin(-\frac{9\pi}{4})) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: Точка $P_5(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, которая совпадает с точкой $P_2$.

$-\frac{7\pi}{6}$
Поворот на угол $\frac{7\pi}{6}$ (210°) по часовой стрелке. Выделим целую часть: $-\frac{7}{6}\pi = -\mathbf{1}\frac{1}{6}\pi = -\pi - \frac{\pi}{6}$. Этой же точке соответствует положительный угол $2\pi - \frac{7\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Точка $P_6$ помещается во вторую координатную четверть.
Координаты точки: $P_6(\cos(-\frac{7\pi}{6}), \sin(-\frac{7\pi}{6})) = (\cos(\frac{5\pi}{6}), \sin(\frac{5\pi}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.
Ответ: Точка $P_6(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

Сравним все полученные точки, чтобы определить количество различных.

• $P_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
• $P_2(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ (соответствует углам $-\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{9\pi}{4}$)
• $P_3(0, -1)$
• $P_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$
• $P_6(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

Всего мы получили 5 уникальных точек на единичной окружности.

Сколько различных точек получилось?
Ответ: 5.