Номер 1.15, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.15. Определите, в какой четверти находится угол $\alpha$, если:

а) $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

б) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

в) $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

г) $-\frac{3\pi}{2} < \alpha < -\pi$.

Для определения четверти, в которой находится угол $\alpha$, соотнесем заданные промежутки с делением координатной плоскости на четыре четверти. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox:

• I четверть: угол от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ ($0^\circ$ - $90^\circ$).
• II четверть: угол от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ ($90^\circ$ - $180^\circ$).
• III четверть: угол от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ ($180^\circ$ - $270^\circ$).
• IV четверть: угол от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ ($270^\circ$ - $360^\circ$).

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.

а) Угол $\alpha$ находится в промежутке $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.
Этот промежуток соответствует углам, большим $\pi$ ($180^\circ$) и меньшим $\frac{3\pi}{2}$ ($270^\circ$). Значение $\frac{3\pi}{2}$ можно записать, выделив целую часть из неправильной дроби: $1\frac{1}{2}\pi$. Таким образом, угол $\alpha$ находится в диапазоне, который однозначно определяет третью координатную четверть.
Ответ: III четверть.

б) Угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
Этот промежуток соответствует углам, большим $\frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$) и меньшим $\pi$ ($180^\circ$). Этот диапазон углов определяет вторую координатную четверть.
Ответ: II четверть.

в) Угол $\alpha$ находится в промежутке $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.
Этот промежуток соответствует углам, большим $\frac{3\pi}{2}$ ($270^\circ$) и меньшим $2\pi$ ($360^\circ$). Выделив целую часть в неправильной дроби, получаем $\frac{3\pi}{2} = 1\frac{1}{2}\pi$. Таким образом, угол $\alpha$ находится в диапазоне, который определяет четвертую координатную четверть.
Ответ: IV четверть.

г) Угол $\alpha$ находится в промежутке $-\frac{3\pi}{2} < \alpha < -\pi$.
Так как углы отрицательные, их отсчет ведется по часовой стрелке. Для удобства можно привести их к положительным значениям, прибавив полный оборот $2\pi$ к границам интервала.
Новая нижняя граница: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi = -\frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Новая верхняя граница: $-\pi + 2\pi = \pi$.
Получаем эквивалентный промежуток $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, который соответствует второй координатной четверти. В исходном неравенстве левая граница $-\frac{3\pi}{2}$ является неправильной дробью, и ее можно записать как $-1\frac{1}{2}\pi$.
Ответ: II четверть.