Номер 1.20, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.20. Как расположены на единичной окружности точки, полученные поворотом точки $P_0(1; 0)$ на углы:

а) $\alpha$ и $\alpha + 2\pi$;

б) $\alpha$ и $\alpha + \pi$;

в) $\alpha$ и $-\alpha$?

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Начальная точка $P_0$ имеет координаты $(1; 0)$. Поворот на угол $\alpha$ перемещает эту точку по окружности. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки, отрицательные — по часовой стрелке.

Угол $2\pi$ радиан соответствует полному обороту ($360^\circ$). Прибавление $2\pi$ к углу $\alpha$ означает, что к повороту на угол $\alpha$ добавляется еще один полный оборот. В результате этого дополнительного оборота точка возвращается в своё исходное положение, которое она занимала после поворота на угол $\alpha$.

Ответ: Точки, полученные поворотом на углы $\alpha$ и $\alpha + 2\pi$, совпадают.

Угол $\pi$ радиан соответствует повороту на половину окружности ($180^\circ$). Таким образом, точка, соответствующая углу $\alpha + \pi$, получается из точки, соответствующей углу $\alpha$, путём дополнительного поворота на $180^\circ$. Это перемещает точку в диаметрально противоположное положение на окружности. Такие точки лежат на одном диаметре и симметричны относительно центра окружности (начала координат).

Ответ: Точки являются диаметрально противоположными.

Углы $\alpha$ и $-\alpha$ имеют одинаковую величину, но противоположные направления поворота от начальной точки $P_0(1; 0)$. Поворот на угол $\alpha$ осуществляется против часовой стрелки, а на угол $-\alpha$ — по часовой стрелке.
Если координаты точки, полученной поворотом на угол $\alpha$, равны $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, то координаты точки для угла $-\alpha$ будут $(\cos(-\alpha), \sin(-\alpha))$. Используя свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, получаем: $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$.
Точки $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$ имеют одинаковую абсциссу (координату x) и противоположные по знаку ординаты (координату y). Это означает, что они симметричны относительно горизонтальной оси (оси абсцисс Ox).

Ответ: Точки симметричны относительно горизонтальной оси Ox.