Номер 1.26, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.26. На единичной окружности отмечены точки $P_\alpha$ и $P_\beta$, соответствующие углам поворота $\alpha$ и $\beta$ (рис. 26). Запишите градусные меры углов $\alpha$ и $\beta$, если известно, что они заключены в промежутке:

а) от $0^\circ$ до $360^\circ$;

б) от $-360^\circ$ до $0^\circ$;

в) от $360^\circ$ до $720^\circ$.

Рис. 26

Для решения задачи сначала определим "основные" углы, соответствующие точкам $P_\alpha$ и $P_\beta$ на единичной окружности, то есть их значения в промежутке от $0^\circ$ до $360^\circ$.

• Точка $P_\alpha$ расположена в первой координатной четверти. Визуально, радиус-вектор $OP_\alpha$ является биссектрисой прямого угла, образованного осями координат. Следовательно, основной угол $\alpha$ равен $45^\circ$.
• Точка $P_\beta$ расположена на отрицательной части оси абсцисс (оси $Ox$). Следовательно, основной угол $\beta$ равен $180^\circ$.

Все остальные углы, соответствующие этим точкам, можно найти, прибавляя или вычитая целое число полных оборотов ($360^\circ$). Общая формула для углов, соответствующих точке $P_\alpha$, имеет вид $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot k$, а для точке $P_\beta$ – $\beta = 180^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.

Теперь найдем углы в заданных промежутках.

Для угла $\alpha$ ищем такое целое $k$, чтобы выполнялось неравенство $0^\circ \le 45^\circ + 360^\circ \cdot k \le 360^\circ$. Это неравенство верно только при $k=0$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 45^\circ$.

Для угла $\beta$ ищем такое целое $k$, чтобы $0^\circ \le 180^\circ + 360^\circ \cdot k \le 360^\circ$. Это неравенство верно только при $k=0$. Таким образом, $\beta = 180^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 180^\circ$.

Ответ: $\alpha = 45^\circ$, $\beta = 180^\circ$.

Для угла $\alpha$ ищем такое целое $k$, чтобы $-360^\circ \le 45^\circ + 360^\circ \cdot k \le 0^\circ$. Это неравенство верно только при $k=-1$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 45^\circ - 360^\circ = -315^\circ$.

Для угла $\beta$ ищем такое целое $k$, чтобы $-360^\circ \le 180^\circ + 360^\circ \cdot k \le 0^\circ$. Это неравенство верно только при $k=-1$. Таким образом, $\beta = 180^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 180^\circ - 360^\circ = -180^\circ$.

Ответ: $\alpha = -315^\circ$, $\beta = -180^\circ$.

Для угла $\alpha$ ищем такое целое $k$, чтобы $360^\circ \le 45^\circ + 360^\circ \cdot k \le 720^\circ$. Это неравенство верно только при $k=1$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 405^\circ$.

Для угла $\beta$ ищем такое целое $k$, чтобы $360^\circ \le 180^\circ + 360^\circ \cdot k \le 720^\circ$. Это неравенство верно только при $k=1$. Таким образом, $\beta = 180^\circ + 360^\circ \cdot 1 = 540^\circ$.

Ответ: $\alpha = 405^\circ$, $\beta = 540^\circ$.