Номер 1.25, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.25. Начертите единичную окружность и постройте точки, получаемые поворотом точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол:

a) $120^\circ$; $-90^\circ$; $450^\circ$; $240^\circ$;

б) $38^\circ$; $185^\circ$; $-295^\circ$; $724^\circ$.

Для решения задачи начертим единичную окружность с центром в начале координат. Единичная окружность имеет радиус, равный 1. Начальная точка $P_0$ имеет координаты $(1; 0)$ и находится на пересечении окружности с положительной частью оси Ox.

Поворот на положительный угол осуществляется против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке. Положение точки на окружности после поворота на угол $\alpha$ определяется этим углом. Если угол по модулю больше $360^\circ$, это означает, что точка совершает один или несколько полных оборотов, прежде чем занять конечное положение.

Графическое построение

Ниже представлена единичная окружность с нанесенными точками, соответствующими заданным углам поворота.

a) 120°; -90°; 450°; 240°;

• Угол $120^\circ$: Поворот на $120^\circ$ против часовой стрелки. Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, точка будет находиться во II координатной четверти.
• Угол $-90^\circ$: Поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке. Точка окажется на отрицательной части оси Oy, что соответствует углу $270^\circ$ при повороте против часовой стрелки.
• Угол $450^\circ$: Этот угол больше $360^\circ$. Представим его в виде $450^\circ = 1 \cdot 360^\circ + 90^\circ$. Это означает один полный оборот против часовой стрелки и затем поворот еще на $90^\circ$. Точка окажется на положительной части оси Oy.
• Угол $240^\circ$: Поворот на $240^\circ$ против часовой стрелки. Так как $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$, точка будет находиться в III координатной четверти.

Ответ: Количество полных оборотов (целая часть от деления на $360^\circ$) для углов $120^\circ, -90^\circ, 450^\circ, 240^\circ$ составляет соответственно: 0, -1, 1, 0.

б) 38°; 185°; -295°; 724°;

• Угол $38^\circ$: Поворот на $38^\circ$ против часовой стрелки. Так как $0^\circ < 38^\circ < 90^\circ$, точка будет находиться в I координатной четверти.
• Угол $185^\circ$: Поворот на $185^\circ$ против часовой стрелки. Так как $180^\circ < 185^\circ < 270^\circ$, точка будет находиться в III координатной четверти.
• Угол $-295^\circ$: Поворот на $295^\circ$ по часовой стрелке. Это эквивалентно повороту против часовой стрелки на угол $360^\circ - 295^\circ = 65^\circ$. Точка будет находиться в I координатной четверти. Можно также записать: $-295^\circ = -1 \cdot 360^\circ + 65^\circ$.
• Угол $724^\circ$: Этот угол значительно больше $360^\circ$. Представим его в виде $724^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 4^\circ$. Это означает два полных оборота против часовой стрелки и затем поворот еще на $4^\circ$. Точка окажется в I координатной четверти, очень близко к начальной точке $P_0$.

Ответ: Количество полных оборотов (целая часть от деления на $360^\circ$) для углов $38^\circ, 185^\circ, -295^\circ, 724^\circ$ составляет соответственно: 0, 0, -1, 2.