Номер 1.32, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.32. Начертите единичную окружность и постройте точки, получаемые поворотом точки $P_0(1; 0)$ вокруг начала координат на угол: $-\frac{\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$; $\frac{7\pi}{6}$; $-\frac{7\pi}{3}$.

Задача состоит в том, чтобы на единичной окружности отметить точки, которые получаются при повороте начальной точки $P_0(1; 0)$ на заданные углы. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0;0)$ и радиусом $R=1$. Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки от положительного направления оси Ox, а отрицательные — по часовой стрелке. Координаты точки $P(x, y)$, полученной поворотом на угол $\alpha$, равны $x = \cos(\alpha)$ и $y = \sin(\alpha)$.

Ниже представлена единичная окружность с построенными точками:

-π/3
Поворот на угол $-\frac{\pi}{3}$ радиан означает поворот по часовой стрелке на $\frac{\pi}{3}$ радиан (или $60^\circ$). Точка $P_1$ будет расположена в IV четверти.
Координаты точки вычисляются по формулам $x = \cos(-\frac{\pi}{3})$ и $y = \sin(-\frac{\pi}{3})$.
$x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $P(-\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3π/4
Поворот на угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан означает поворот против часовой стрелки на $135^\circ$. Точка $P_2$ будет расположена во II четверти.
Координаты точки: $x = \cos(\frac{3\pi}{4})$ и $y = \sin(\frac{3\pi}{4})$.
$x = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ответ: $P(\frac{3\pi}{4}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

π
Поворот на угол $\pi$ радиан означает поворот против часовой стрелки на $180^\circ$. Точка $P_3$ окажется на отрицательной части оси Ox, в точке, диаметрально противоположной $P_0$.
Координаты точки: $x = \cos(\pi)$ и $y = \sin(\pi)$.
$x = -1$
$y = 0$
Ответ: $P(\pi) = (-1; 0)$.

7π/6
Угол $\frac{7\pi}{6}$ — это неправильная дробь. Поворот на этот угол против часовой стрелки эквивалентен повороту на $\pi + \frac{\pi}{6}$ ($180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$). Точка $P_4$ будет расположена в III четверти.
Координаты точки: $x = \cos(\frac{7\pi}{6})$ и $y = \sin(\frac{7\pi}{6})$.
$x = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$
Ответ: $P(\frac{7\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$. Угол $\frac{7\pi}{6}$ можно представить в виде смешанного числа $\boldsymbol{1}\frac{1}{6}\pi$.

-7π/3
Угол $-\frac{7\pi}{3}$ — это неправильная дробь. Поворот на этот угол по часовой стрелке эквивалентен повороту на $-2\pi - \frac{\pi}{3}$. Поворот на $-2\pi$ — это полный оборот, который возвращает точку в исходное положение. Таким образом, поворот на $-\frac{7\pi}{3}$ эквивалентен повороту на $-\frac{\pi}{3}$. Точка $P_5$ совпадет с точкой от угла $-\frac{\pi}{3}$ и будет расположена в IV четверти.
Координаты точки: $x = \cos(-\frac{7\pi}{3})$ и $y = \sin(-\frac{7\pi}{3})$.
$x = \cos(-2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(-2\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $P(-\frac{7\pi}{3}) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Угол $-\frac{7\pi}{3}$ можно представить в виде смешанного числа $-\boldsymbol{2}\frac{1}{3}\pi$.