Номер 1.35, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.35. На единичной окружности отмечены точки $P_\alpha$ и $P_\beta$, соответствующие углам поворота $\alpha$ и $\beta$ (рис. 27). Запишите все такие углы $\alpha$ и $\beta$, используя радианную меру.

Рис. 27

Угол α

Точка $P_\alpha$ расположена на пересечении единичной окружности с положительной частью оси $y$. Это положение соответствует углу поворота от положительной части оси $x$ на $90^\circ$, или $\frac{\pi}{2}$ радиан, против часовой стрелки.

Так как полный оборот составляет $2\pi$ радиан, любая точка на окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на целое число полных оборотов. Поэтому все углы $\alpha$, которым соответствует точка $P_\alpha$, задаются формулой:

$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

В данном случае коэффициент при $\pi$ ($\frac{1}{2}$) является правильной дробью, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Угол β

Точка $P_\beta$ расположена в третьей координатной четверти. Из рисунка следует, что угол между отрицательной частью оси $x$ и радиус-вектором $OP_\beta$ равен $45^\circ$, или $\frac{\pi}{4}$ радиан.

Угол поворота до отрицательной части оси $x$ составляет $\pi$ радиан. Чтобы достичь точки $P_\beta$, необходимо повернуться на дополнительный угол $\frac{\pi}{4}$ против часовой стрелки. Таким образом, основной угол $\beta$ равен:

$\beta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ радиан.

Общая формула для всех углов, соответствующих точке $P_\beta$, с учетом полных оборотов имеет вид:

$\beta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной. Представим её в виде смешанного числа, чтобы выделить целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Ответ: $\beta = \mathbf{1}\frac{1}{4}\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.