Номер 1.33, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.33. Определите, углом какой четверти является угол $\alpha$, если:

а) $\alpha = 213^\circ$;

б) $\alpha = -352^\circ$;

в) $\alpha = \frac{7\pi}{10}$;

г) $\alpha = -\frac{\pi}{6}$;

д) $\alpha = 4$;

е) $\alpha = -1$;

ж) $\alpha = 9$;

з) $\alpha = -5$.

Для определения четверти, в которой находится угол, мы сравним его значение с граничными углами четвертей. Отсчет углов ведется от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

Для углов, выходящих за пределы $[0^\circ, 360^\circ]$, или для отрицательных углов, мы находим эквивалентный угол в этом диапазоне путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360^\circ$ или $2\pi$ радиан).

а) Угол $\alpha = 213^\circ$. Так как выполняется неравенство $180^\circ < 213^\circ < 270^\circ$, данный угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

б) Угол $\alpha = -352^\circ$. Это отрицательный угол. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $360^\circ$: $\alpha' = -352^\circ + 360^\circ = 8^\circ$. Так как $0^\circ < 8^\circ < 90^\circ$, угол находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

в) Угол $\alpha = \frac{7\pi}{10}$. Угол задан в радианах. Сравним его с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{10}$ и $\pi = \frac{10\pi}{10}$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{10} < \pi$, угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

г) Угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$. Это отрицательный угол в радианах. Найдем эквивалентный положительный угол: $\alpha' = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Сравним его с границами: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Так как $\frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{6} < 2\pi$, угол находится в четвертой четверти.
Ответ: IV четверть.

д) Угол $\alpha = 4$. Угол задан в радианах. Используем приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Поскольку $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

е) Угол $\alpha = -1$. Это отрицательный угол в радианах. Сравним его с границей $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$. Так как $0 > -1 > -\frac{\pi}{2}$, угол находится в четвертой четверти (движение по часовой стрелке от 0).
Ответ: IV четверть.

ж) Угол $\alpha = 9$. Угол в радианах больше полного оборота ($2\pi \approx 6.28$). Найдем эквивалентный угол, выделив целую часть оборотов: $9 = \mathbf{1} \cdot 2\pi + (9 - 2\pi)$. Рассмотрим остаток $\alpha' = 9 - 2\pi \approx 9 - 6.28 = 2.72$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 2.72 < \pi$. Следовательно, угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

з) Угол $\alpha = -5$. Это отрицательный угол в радианах. Найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi \approx 6.28$: $\alpha' = -5 + 2\pi \approx 1.28$. Так как $0 < 1.28 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$, угол находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.