Номер 1.14, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.14. Определите, углом какой четверти является угол $ \alpha $, если:

а) $ \alpha = 126^\circ $;

б) $ \alpha = -189^\circ $;

в) $ \alpha = 722^\circ $;

г) $ \alpha = \frac{\pi}{3} $;

д) $ \alpha = -\frac{3\pi}{4} $;

е) $ \alpha = \frac{11\pi}{5} $;

ж) $ \alpha = 2 $;

з) $ \alpha = -4 $;

и) $ \alpha = 7 $;

к) $ \alpha = -3 $.

а) Угол $\alpha = 126°$. Границы второй четверти: от $90°$ до $180°$. Так как $90° < 126° < 180°$, то этот угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

б) Угол $\alpha = -189°$. Это отрицательный угол. Чтобы найти соответствующий ему положительный угол в пределах от $0°$ до $360°$, прибавим $360°$:
$\alpha' = -189° + 360° = 171°$.
Так как $90° < 171° < 180°$, то этот угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

в) Угол $\alpha = 722°$. Этот угол больше полного оборота ($360°$). Чтобы найти основной угол, вычтем из него полные обороты:
$722° = 2 \cdot 360° + 2° = 720° + 2°$.
Угол, соответствующий $722°$ на тригонометрической окружности, равен $2°$. Так как $0° < 2° < 90°$, то этот угол находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

г) Угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$ радиан. Границы первой четверти в радианах: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$. Так как $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, то этот угол находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

д) Угол $\alpha = -\frac{3\pi}{4}$ радиан. Чтобы найти соответствующий положительный угол, прибавим $2\pi$:
$\alpha' = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = -\frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
Границы третьей четверти в радианах: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$. Так как $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$ (поскольку $1 < \frac{5}{4} < 1.5$), то этот угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.

е) Угол $\alpha = \frac{11\pi}{5}$. Чтобы определить четверть, приведем угол к промежутку $[0, 2\pi)$, вычитая полные обороты ($2\pi$). Для этого представим дробь в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{11}{5} = \mathbf{2}\frac{1}{5}$.
Таким образом, $\alpha = \mathbf{2}\frac{1}{5}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{5}$.
Это означает, что угол совершает один полный оборот ($2\pi$) и дополнительно поворачивается на угол $\frac{\pi}{5}$. Угол $\frac{\pi}{5}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: I четверть.

ж) Угол $\alpha = 2$ радиана. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$. Границы четвертей в радианах: I ($0 \dots \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), II ($\frac{\pi}{2} \approx 1.57 \dots \pi \approx 3.14$). Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$ (т.е. $1.57 < 2 < 3.14$), то угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

з) Угол $\alpha = -4$ радиана. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi \approx 6.28$:
$\alpha' = -4 + 2\pi \approx -4 + 6.28 = 2.28$ радиан.
Так как $\frac{\pi}{2} < 2.28 < \pi$ (т.е. $1.57 < 2.28 < 3.14$), то угол находится во второй четверти.
Ответ: II четверть.

и) Угол $\alpha = 7$ радиан. Угол больше полного оборота $2\pi \approx 6.28$. Найдем основной угол, вычтя $2\pi$:
$\alpha' = 7 - 2\pi \approx 7 - 6.28 = 0.72$ радиан.
Так как $0 < 0.72 < \frac{\pi}{2}$ (т.е. $0 < 0.72 < 1.57$), то угол находится в первой четверти.
Ответ: I четверть.

к) Угол $\alpha = -3$ радиана. Найдем соответствующий положительный угол, прибавив $2\pi \approx 6.28$:
$\alpha' = -3 + 2\pi \approx -3 + 6.28 = 3.28$ радиан.
Так как $\pi < 3.28 < \frac{3\pi}{2}$ (т.е. $3.14 < 3.28 < 4.71$), то угол находится в третьей четверти.
Ответ: III четверть.