Номер 1.16, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.16. На единичной окружности отмечены точки $P_{\alpha}$ и $P_{\beta}$, соответствующие углам поворота $\alpha$ и $\beta$ (рис. 23). Запишите радианные меры углов $\alpha$ и $\beta$, если известно, что они заключены в промежутке:

a) от $0$ до $2\pi$;

б) от $-2\pi$ до $0$;

в) от $2\pi$ до $4\pi$.

Рис. 23

Для решения задачи сначала определим базовые углы для точек $P_{\alpha}$ и $P_{\beta}$ на единичной окружности в промежутке $[0, 2\pi)$.

• Точка $P_{\alpha}$ расположена на отрицательной полуоси OY, что соответствует углу поворота $\alpha_0 = \frac{3\pi}{2}$.
• Точка $P_{\beta}$ находится во второй координатной четверти. Судя по изображению, угол между радиус-вектором $OP_{\beta}$ и отрицательной полуосью OX равен $\frac{\pi}{4}$. Следовательно, угол $\beta_0$, отсчитываемый от положительной полуоси OX против часовой стрелки, равен $\beta_0 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Все углы, соответствующие этим точкам, можно найти по общим формулам, где $k$ – любое целое число:
$\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$
$\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

Теперь найдем значения углов в заданных промежутках, подбирая соответствующее целое значение $k$.

a) от 0 до 2π;

Ищем $\alpha$ в промежутке $[0, 2\pi]$:
$0 \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le 2\pi$
Разделим неравенство на $\pi$: $0 \le \frac{3}{2} + 2k \le 2$
Вычтем $\frac{3}{2}$: $-\frac{3}{2} \le 2k \le 2 - \frac{3}{2} \implies -\frac{3}{2} \le 2k \le \frac{1}{2}$
Разделим на 2: $-\frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4}$.
Единственное целое число в этом диапазоне $k=0$.
При $k=0$, $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{2}$.

Ищем $\beta$ в промежутке $[0, 2\pi]$:
$0 \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 2\pi$
Разделим неравенство на $\pi$: $0 \le \frac{3}{4} + 2k \le 2$
Вычтем $\frac{3}{4}$: $-\frac{3}{4} \le 2k \le 2 - \frac{3}{4} \implies -\frac{3}{4} \le 2k \le \frac{5}{4}$
Разделим на 2: $-\frac{3}{8} \le k \le \frac{5}{8}$.
Единственное целое число в этом диапазоне $k=0$.
При $k=0$, $\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{2} = \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi$, $\beta = \frac{3\pi}{4}$.

б) от -2π до 0;

Ищем $\alpha$ в промежутке $[-2\pi, 0]$:
$-2\pi \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le 0 \implies -2 \le \frac{3}{2} + 2k \le 0 \implies -2 - \frac{3}{2} \le 2k \le -\frac{3}{2} \implies -\frac{7}{2} \le 2k \le -\frac{3}{2} \implies -\frac{7}{4} \le k \le -\frac{3}{4}$.
Единственное целое $k=-1$.
При $k=-1$, $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(-1) = \frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}$.

Ищем $\beta$ в промежутке $[-2\pi, 0]$:
$-2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 0 \implies -2 \le \frac{3}{4} + 2k \le 0 \implies -2 - \frac{3}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4} \implies -\frac{11}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4} \implies -\frac{11}{8} \le k \le -\frac{3}{8}$.
Единственное целое $k=-1$.
При $k=-1$, $\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(-1) = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.
Ответ: $\alpha = -\frac{\pi}{2}$, $\beta = -\frac{5\pi}{4} = -\mathbf{1}\frac{1}{4}\pi$.

в) от 2π до 4π.

Ищем $\alpha$ в промежутке $[2\pi, 4\pi]$:
$2\pi \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le 4\pi \implies 2 \le \frac{3}{2} + 2k \le 4 \implies 2 - \frac{3}{2} \le 2k \le 4 - \frac{3}{2} \implies \frac{1}{2} \le 2k \le \frac{5}{2} \implies \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4}$.
Единственное целое $k=1$.
При $k=1$, $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{7\pi}{2}$.

Ищем $\beta$ в промежутке $[2\pi, 4\pi]$:
$2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 4\pi \implies 2 \le \frac{3}{4} + 2k \le 4 \implies 2 - \frac{3}{4} \le 2k \le 4 - \frac{3}{4} \implies \frac{5}{4} \le 2k \le \frac{13}{4} \implies \frac{5}{8} \le k \le \frac{13}{8}$.
Единственное целое $k=1$.
При $k=1$, $\beta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi(1) = \frac{11\pi}{4}$.
Ответ: $\alpha = \frac{7\pi}{2} = \mathbf{3}\frac{1}{2}\pi$, $\beta = \frac{11\pi}{4} = \mathbf{2}\frac{3}{4}\pi$.