Номер 1.5, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.5. На единичной окружности отмечены точки $P_\alpha$, $P_\beta$ и $P_\gamma$, соответствующие углам поворота $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ (рис. 21). Запишите градусные меры углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, если известно, что они заключены в промежутке:

а) от $0^\circ$ до $360^\circ$;

б) от $-360^\circ$ до $0^\circ$;

в) от $720^\circ$ до $1080^\circ$.

Рис. 21

Для решения задачи сначала определим основные (наименьшие положительные) углы, соответствующие точкам $P_\alpha$, $P_\beta$ и $P_\gamma$ на единичной окружности.

• Точка $P_\alpha$ находится на отрицательной части оси Ox, что соответствует углу поворота $180^\circ$.
• Точка $P_\beta$ находится на отрицательной части оси Oy, что соответствует углу поворота $270^\circ$.
• Точка $P_\gamma$ находится в первой четверти, и, судя по рисунку, радиус-вектор $OP_\gamma$ делит прямой угол пополам, что соответствует углу поворота $45^\circ$.

Все остальные углы, соответствующие этим точкам, можно найти по формуле $\theta = \theta_0 + 360^\circ \cdot k$, где $\theta_0$ — основной угол, а $k$ — любое целое число, показывающее количество полных оборотов.

а) от $0^\circ$ до $360^\circ$;
В этом промежутке находится только один угол для каждой точки, который соответствует $k=0$ в общей формуле.

• Для $\alpha$: $\alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 180^\circ$.
• Для $\beta$: $\beta = 270^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 270^\circ$.
• Для $\gamma$: $\gamma = 45^\circ + 360^\circ \cdot 0 = 45^\circ$.

Ответ: $\alpha = 180^\circ$, $\beta = 270^\circ$, $\gamma = 45^\circ$.

б) от $-360^\circ$ до $0^\circ$;
Чтобы найти углы в этом промежутке, мы должны вычесть один полный оборот из основных углов, что соответствует $k=-1$ в общей формуле.

• Для $\alpha$: $\alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 180^\circ - 360^\circ = -180^\circ$.
• Для $\beta$: $\beta = 270^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 270^\circ - 360^\circ = -90^\circ$.
• Для $\gamma$: $\gamma = 45^\circ + 360^\circ \cdot (-1) = 45^\circ - 360^\circ = -315^\circ$.

Ответ: $\alpha = -180^\circ$, $\beta = -90^\circ$, $\gamma = -315^\circ$.

в) от $720^\circ$ до $1080^\circ$.
В этом случае нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы углы попали в заданный интервал. Заметим, что $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$ и $1080^\circ = 3 \cdot 360^\circ$. Мы ищем углы, которые совершили два полных оборота и находятся на третьем. Это соответствует $k=2$.

• Для $\alpha$: $\alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 180^\circ + 720^\circ = 900^\circ$. Проверка: $720^\circ < 900^\circ < 1080^\circ$.
• Для $\beta$: $\beta = 270^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 270^\circ + 720^\circ = 990^\circ$. Проверка: $720^\circ < 990^\circ < 1080^\circ$.
• Для $\gamma$: $\gamma = 45^\circ + 360^\circ \cdot 2 = 45^\circ + 720^\circ = 765^\circ$. Проверка: $720^\circ < 765^\circ < 1080^\circ$.

Ответ: $\alpha = 900^\circ$, $\beta = 990^\circ$, $\gamma = 765^\circ$.