вопрос 2, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Какие из данных точек единичной окружности совпадают:

a) $P_{\alpha}$;

б) $P_{\alpha+180^{\circ}}$;

в) $P_{\alpha+360^{\circ}}$;

г) $P_{\alpha+90^{\circ}}$?

Для того чтобы определить, какие из данных точек единичной окружности совпадают, необходимо воспользоваться свойством периодичности. Точки на единичной окружности задаются углом поворота от начального положения. Две точки $P_{\beta}$ и $P_{\gamma}$ совпадают тогда и только тогда, когда их углы поворота отличаются на целое число полных оборотов. Один полный оборот составляет $360^{\circ}$.

Математически это условие можно записать в виде формулы:$$ \gamma = \beta + k \cdot 360^{\circ}, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} $$($\mathbb{Z}$ — это множество целых чисел).

Проанализируем каждую из предложенных точек в соответствии с этим правилом.

a) $P_{\alpha}$:
Это исходная точка. Сравним ее с остальными. Она совпадает с точкой в) $P_{\alpha + 360^{\circ}}$, так как разница их углов составляет $(\alpha + 360^{\circ}) - \alpha = 360^{\circ}$, что является полным оборотом (случай, когда $k=1$). С точками б) и г) она не совпадает, поскольку разницы углов $180^{\circ}$ и $90^{\circ}$ не кратны $360^{\circ}$.
Ответ: совпадает с точкой в) $P_{\alpha + 360^{\circ}}$.

б) $P_{\alpha + 180^{\circ}}$:
Эта точка получается поворотом точки $P_{\alpha}$ на $180^{\circ}$ (половину оборота). Она является диаметрально противоположной точке $P_{\alpha}$. При сравнении с другими точками из списка, разница углов никогда не будет кратна $360^{\circ}$.
Ответ: не совпадает ни с одной из других предложенных точек.

в) $P_{\alpha + 360^{\circ}}$:
Эта точка получается поворотом точки $P_{\alpha}$ на $360^{\circ}$ (полный оборот). Такой поворот возвращает любую точку в ее исходное положение. Следовательно, эта точка совпадает с точкой $P_{\alpha}$.
Ответ: совпадает с точкой а) $P_{\alpha}$.

г) $P_{\alpha + 90^{\circ}}$:
Эта точка получается поворотом точки $P_{\alpha}$ на $90^{\circ}$ (четверть оборота). При сравнении с другими точками из списка, разница углов никогда не будет кратна $360^{\circ}$.
Ответ: не совпадает ни с одной из других предложенных точек.