Номер 22, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

22. Постройте параболу $y = -x^2 + 4$ и прямую $y = x - 2$ и найдите координаты точек пересечения этих графиков.

Для решения задачи сначала выполним построение графиков, а затем аналитически найдем координаты их точек пересечения.

Постройте параболу $y = -x^2 + 4$ и прямую $y = x - 2$

1. Построение параболы $y = -x^2 + 4$

• Графиком функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, поэтому ветви параболы направлены вниз.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
  $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
  $y_0 = -(0)^2 + 4 = 4$.
  Вершина находится в точке $(0, 4)$.
• Найдем точки пересечения с осью абсцисс (OX), для которых $y=0$:
  $0 = -x^2 + 4 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.
  Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Построение прямой $y = x - 2$

• Графиком функции является прямая. Для построения достаточно двух точек.
• Найдем точки пересечения с осями координат:
  При $x=0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
  При $y=0$, $0 = x - 2 \implies x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Ответ: Парабола $y = -x^2 + 4$ имеет вершину в точке $(0, 4)$, ее ветви направлены вниз, и она пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$. Прямая $y = x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

найдите координаты точек пересечения этих графиков

Чтобы найти общие точки графиков, нужно решить систему уравнений:

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:

$-x^2 + 4 = x - 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 - 4 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -1$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -6$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 2$:

• Для $x_1 = 2$: $y_1 = 2 - 2 = 0$.
• Для $x_2 = -3$: $y_2 = -3 - 2 = -5$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(2, 0)$ и $(-3, -5)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(2, 0)$ и $(-3, -5)$.