Номер 18, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

18. Найдите значение выражения:

a) $(\sqrt{27} + \sqrt{3})^2$;

б) $(2\sqrt{5} + 1)(1 - 2\sqrt{5}).$

a) $(\sqrt{27} + \sqrt{3})^2$

Для решения данного примера можно сначала упростить выражение в скобках. Разложим число 27 под корнем на множители:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(\sqrt{27} + \sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3} + \sqrt{3})^2$

Складываем подобные слагаемые в скобках:

$3\sqrt{3} + \sqrt{3} = (3+1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

Осталось возвести полученный результат в квадрат:

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

Также можно было применить формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{27} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{27})^2 + 2 \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 27 + 2\sqrt{27 \cdot 3} + 3 = 30 + 2\sqrt{81} = 30 + 2 \cdot 9 = 30 + 18 = 48$

Ответ: 48

б) $(2\sqrt{5} + 1)(1 - 2\sqrt{5})$

Заметим, что данное выражение можно привести к формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для этого поменяем местами слагаемые в первой скобке:

$(2\sqrt{5} + 1)(1 - 2\sqrt{5}) = (1 + 2\sqrt{5})(1 - 2\sqrt{5})$

Теперь применим формулу, где $a=1$ и $b=2\sqrt{5}$:

$1^2 - (2\sqrt{5})^2 = 1 - (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) = 1 - (4 \cdot 5) = 1 - 20 = -19$

Альтернативный способ — это прямое перемножение скобок:

$(2\sqrt{5} + 1)(1 - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} \cdot 1 + 2\sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2\sqrt{5})$

$= 2\sqrt{5} - 4 \cdot 5 + 1 - 2\sqrt{5}$

Сокращаем $2\sqrt{5}$ и $-2\sqrt{5}$:

$-20 + 1 = -19$

Ответ: -19