Номер 14, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

14. Найдите значение выражения $(\sqrt{3}-2)^2 + \sqrt{(6-4\sqrt{3})^2}$.

Для нахождения значения данного выражения необходимо последовательно упростить каждое из двух слагаемых, а затем найти их сумму.

Исходное выражение: $(\sqrt{3}-2)^2 + \sqrt{(6-4\sqrt{3})^2}$

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{3}-2)^2$, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3}-2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}$

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{(6-4\sqrt{3})^2}$. Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a).

$\sqrt{(6-4\sqrt{3})^2} = |6-4\sqrt{3}|$

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения, стоящего под ним. Для этого сравним числа $6$ и $4\sqrt{3}$. Проще всего сравнить их квадраты:

$6^2 = 36$

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$

Так как $36 < 48$, то и $6 < 4\sqrt{3}$. Это означает, что разность $6-4\sqrt{3}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|x| = -x$ при $x < 0$.

$|6-4\sqrt{3}| = -(6-4\sqrt{3}) = -6 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 6$

3. Теперь сложим полученные результаты:

$(7 - 4\sqrt{3}) + (4\sqrt{3} - 6)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$7 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6 = 7 - 6 = 1$

Ответ: 1