Номер 7, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Решите совокупность неравенств $\left[ \begin{array}{l} x < 2, \\ 2x - 1 \le 7. \end{array} \right.$

Решите совокупность неравенств $\begin{bmatrix} x < 2 \\ 2x - 1 \leq 7 \end{bmatrix}$

Решение совокупности неравенств заключается в нахождении всех значений переменной $x$, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств. Для этого необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти объединение их множеств решений.

1. Решим первое неравенство:

   $$ x < 2 $$

   Это неравенство уже решено. Его решением является числовой интервал $(-\infty; 2)$.

2. Решим второе неравенство:

   $$ 2x - 1 \leq 7 $$

   Перенесем слагаемое $-1$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

   $$ 2x \leq 7 + 1 $$

   $$ 2x \leq 8 $$

   Разделим обе части неравенства на 2. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется:

   $$ x \leq \frac{8}{2} $$

   $$ x \leq 4 $$

   Решением второго неравенства является числовой луч $(-\infty; 4]$.

3. Найдем объединение решений:

   Решением совокупности является объединение решений первого и второго неравенств:

   $$ (-\infty; 2) \cup (-\infty; 4] $$

   Так как множество $(-\infty; 2)$ является подмножеством множества $(-\infty; 4]$ (любое число, которое меньше 2, также меньше или равно 4), их объединением будет большее из множеств, то есть $(-\infty; 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4]$.