Номер 8, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Найдите область определения функции $y = \sqrt{4x^2 - 5x + 1}$.

Область определения функции (ОДЗ) $y = \sqrt{4x^2 - 5x + 1}$ находится из условия, что выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству:

$4x^2 - 5x + 1 \ge 0$

Для решения данного квадратичного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $4x^2 - 5x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант (D):

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Графиком функции $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a = 4 > 0$. Следовательно, неравенство $4x^2 - 5x + 1 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится не ниже оси Ox, то есть для значений $x$, которые меньше или равны меньшему корню ($x \le \frac{1}{4}$), и для значений $x$, которые больше или равны большему корню ($x \ge 1$).

Таким образом, область определения функции есть объединение промежутков $(-\infty; \frac{1}{4}]$ и $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty)$