Номер 6, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Найдите значение выражения:

a) $(\sqrt{18}-\sqrt{2})^2$;

б) $(3\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-3\sqrt{6})$;

в) $\frac{21\sqrt{20}}{\sqrt{125}-\sqrt{45}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{18} - \sqrt{2})^2$, воспользуемся одним из двух способов.

Способ 1: Упрощение подкоренного выражения.

Сначала упростим $\sqrt{18}$. Для этого разложим 18 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$(3\sqrt{2} - \sqrt{2})^2$

Выполним вычитание в скобках:

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

И наконец, возведем полученный результат в квадрат:

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

Способ 2: Использование формулы квадрата разности.

Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{18}$ и $b = \sqrt{2}$.

$(\sqrt{18} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{18})^2 - 2 \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$= 18 - 2\sqrt{18 \cdot 2} + 2$

$= 18 - 2\sqrt{36} + 2$

$= 18 - 2 \cdot 6 + 2$

$= 18 - 12 + 2 = 8$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 8

б) Чтобы найти значение выражения $(3\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 3\sqrt{6})$, заметим, что оно похоже на формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы было нагляднее: $(\sqrt{2} + 3\sqrt{6})(\sqrt{2} - 3\sqrt{6})$.

Теперь это в точности формула разности квадратов, где $a = \sqrt{2}$ и $b = 3\sqrt{6}$.

Применяем формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{6})^2$

Вычислим значение каждого квадрата:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

Подставим полученные значения в выражение:

$2 - 54 = -52$

Ответ: -52

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{21\sqrt{20}}{\sqrt{125}-\sqrt{45}}$, упростим каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня.

1. Упростим числитель:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Тогда весь числитель равен:

$21\sqrt{20} = 21 \cdot 2\sqrt{5} = 42\sqrt{5}$

2. Упростим знаменатель:

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Тогда весь знаменатель равен:

$\sqrt{125} - \sqrt{45} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (5-3)\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{42\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{5}$:

$\frac{42}{2} = 21$

Ответ: 21