Номер 11, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. На рисунке 1 изображен график функции $y = f(x)$, заданной на множестве $[-8; 7]$. Найдите:

a) множество значений функции;

б) нули функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) промежутки монотонности функции;

д) значение выражения $f(-5) + f(3)$;

е) все корни уравнения $f(x) = -2$.

Рис. 1

а) множество значений функции;
Множество значений функции – это совокупность всех значений, которые принимает переменная $y$ на заданной области определения. Чтобы найти его по графику, необходимо определить наименьшее и наибольшее значение функции.
Из графика видно, что наименьшее значение $y_{min} = -3$ достигается в точке с абсциссой $x = -8$.
Наибольшее значение $y_{max} = 3$ достигается в точке с абсциссой $x = -3$.
Поскольку функция непрерывна на отрезке $[-8; 7]$, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.
Ответ: $[-3; 3]$.

б) нули функции;
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Графически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. На рисунке видно, что график пересекает ось абсцисс в трех точках.
Ответ: $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$.

в) промежутки знакопостоянства функции;
Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (остается либо положительной, либо отрицательной).
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на промежутках $(-4; -1)$ и $(2; 7]$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутках $[-8; -4)$ и $(-1; 2)$.
Ответ: функция положительна при $x \in (-4; -1) \cup (2; 7]$; функция отрицательна при $x \in [-8; -4) \cup (-1; 2)$.

г) промежутки монотонности функции;
Промежутки монотонности – это интервалы, на которых функция только возрастает или только убывает.
Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается (график идет вверх). Это происходит на промежутках $[-8; -3]$ и $[0; 7]$.
Функция убывает, когда с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается (график идет вниз). Это происходит на промежутке $[-3; 0]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-8; -3]$ и $[0; 7]$; убывает на промежутке $[-3; 0]$.

д) значение выражения $f(-5) + f(3)$;
Чтобы найти значение этого выражения, необходимо определить по графику значения функции в точках $x = -5$ и $x = 3$.
Находим на оси $Ox$ значение $x = -5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -1$. Таким образом, $f(-5) = -1$.
Находим на оси $Ox$ значение $x = 3$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 1$. Таким образом, $f(3) = 1$.
Теперь вычисляем сумму: $f(-5) + f(3) = -1 + 1 = 0$.
Ответ: $0$.

е) все корни уравнения $f(x) = -2$.
Корни уравнения $f(x) = -2$ – это значения $x$, для которых значение функции равно $-2$. Чтобы найти их графически, нужно провести воображаемую горизонтальную прямую $y = -2$ и найти абсциссы всех точек ее пересечения с графиком функции.
Прямая $y = -2$ пересекает график $y=f(x)$ в двух точках. Абсциссы этих точек: $x=-6$ и $x=0$.
Ответ: $x = -6$, $x = 0$.