Номер 20, страница 162 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

20. Между обкладками плоского конденсатора находится диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого $\varepsilon = 2,0$. Конденсатор зарядили до напряжения $U_1 = 1,4$ кВ, после чего отключили от источника тока. Механическая работа, которую необходимо совершить против электрических сил, чтобы извлечь диэлектрик из конденсатора, $A_{\text{внеш}} = 10$ Дж. Определите электроёмкость конденсатора в отсутствие диэлектрика.

Дано:

$ε = 2,0$
$U_1 = 1,4 \text{ кВ}$
$A_{внеш} = 10 \text{ Дж}$

$U_1 = 1,4 \cdot 10^3 \text{ В}$

Найти:

$C_0$ - ?

Решение:

Ёмкость конденсатора с диэлектриком $C_1$ и ёмкость того же конденсатора без диэлектрика (в вакууме или воздухе) $C_0$ связаны через диэлектрическую проницаемость среды $ε$:
$C_1 = ε C_0$

Когда конденсатор заряжают до напряжения $U_1$ и отключают от источника тока, его заряд $q$ остаётся постоянным, так как обкладки становятся электрически изолированными.
Этот заряд можно выразить через начальные параметры:
$q = C_1 U_1 = ε C_0 U_1$

Энергия электрического поля, запасённая в конденсаторе, зависит от его заряда и ёмкости. В начальном состоянии (с диэлектриком) энергия $W_1$ равна:
$W_1 = \frac{q^2}{2 C_1}$

В конечном состоянии (после извлечения диэлектрика) ёмкость конденсатора становится $C_0$, а заряд $q$ остаётся прежним. Энергия $W_2$ равна:
$W_2 = \frac{q^2}{2 C_0}$

Согласно закону сохранения энергии, механическая работа $A_{внеш}$, совершённая внешней силой для извлечения диэлектрика, идёт на изменение энергии электрического поля в конденсаторе:
$A_{внеш} = W_2 - W_1 = \frac{q^2}{2 C_0} - \frac{q^2}{2 C_1}$

Подставим в это выражение $C_1 = ε C_0$:
$A_{внеш} = \frac{q^2}{2 C_0} - \frac{q^2}{2 ε C_0} = \frac{q^2}{2 C_0} \left(1 - \frac{1}{ε}\right) = \frac{q^2 (ε-1)}{2 C_0 ε}$

Теперь подставим выражение для заряда $q = ε C_0 U_1$:
$A_{внеш} = \frac{(ε C_0 U_1)^2 (ε-1)}{2 C_0 ε} = \frac{ε^2 C_0^2 U_1^2 (ε-1)}{2 C_0 ε} = \frac{ε C_0 U_1^2 (ε-1)}{2}$

Из полученной формулы выразим искомую ёмкость $C_0$:
$C_0 = \frac{2 A_{внеш}}{ε U_1^2 (ε - 1)}$

Выполним расчёт, подставив числовые значения в системе СИ:
$C_0 = \frac{2 \cdot 10}{2,0 \cdot (1,4 \cdot 10^3)^2 \cdot (2,0 - 1)} = \frac{20}{2 \cdot 1,96 \cdot 10^6 \cdot 1} = \frac{10}{1,96 \cdot 10^6} \approx 5,102 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

С учётом значащих цифр исходных данных, округляем результат.
$C_0 \approx 5,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 5,1 \text{ мкФ}$

Ответ: электроёмкость конденсатора в отсутствии диэлектрика равна $5,1 \cdot 10^{-6}$ Ф.