Номер 15, страница 162 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

15. Модули сил электростатического взаимодействия точечных зарядов, находящихся на расстоянии $r_1 = 20,0 \text{ см}$ в воздухе, $F_1 = F_2 = F = 90,0 \text{ мкН}$, а модули сил электростатического взаимодействия этих же зарядов в некоторой среде на расстоянии $r_2 = 40,0 \text{ см}$ составляют $F'_1 = F'_2 = F' = 10,0 \text{ мкН}$. Определите диэлектрическую проницаемость среды.

Дано:

$r_1 = 20,0 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$F = 90,0 \text{ мкН} = 90,0 \times 10^{-6} \text{ Н}$
$r_2 = 40,0 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$
$F' = 10,0 \text{ мкН} = 10,0 \times 10^{-6} \text{ Н}$
Диэлектрическая проницаемость воздуха $\epsilon_1 \approx 1$

Найти:

$\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды.

Решение:

Запишем закон Кулона для взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ в воздухе. Диэлектрическую проницаемость воздуха примем равной 1.

$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Теперь запишем закон Кулона для взаимодействия тех же зарядов в некоторой среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$.

$F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 \epsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2}$

Чтобы найти диэлектрическую проницаемость среды $\epsilon$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{F}{F'} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0 \epsilon} \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2}}$

После сокращения одинаковых членов получаем:

$\frac{F}{F'} = \frac{\frac{1}{r_1^2}}{\frac{1}{\epsilon r_2^2}} = \frac{\epsilon r_2^2}{r_1^2}$

Выразим из этого соотношения искомую величину $\epsilon$:

$\epsilon = \frac{F}{F'} \cdot \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{F}{F'} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\epsilon = \frac{90,0 \times 10^{-6} \text{ Н}}{10,0 \times 10^{-6} \text{ Н}} \cdot \left(\frac{0,2 \text{ м}}{0,4 \text{ м}}\right)^2 = 9,0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 9,0 \cdot 0,25 = 2,25$

Ответ: диэлектрическая проницаемость среды равна 2,25.