Номер 8, страница 161 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

8. Расстояние между точечными зарядами $Q_1 = 3,2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ и $Q_2 = -3,2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ составляет $r_0 = 12 \text{ см}$. Определите модуль напряжённости электростатического поля в точках, удалённых от обоих зарядов на расстояние $r = 8,0 \text{ см}$.

Дано:

$Q_1 = 3,2 \cdot 10^{-9}$ Кл
$Q_2 = -3,2 \cdot 10^{-9}$ Кл
$r_0 = 12$ см
$r = 8,0$ см
$k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² (электрическая постоянная)

Переведем единицы измерения в систему СИ:
$r_0 = 12$ см $= 0,12$ м
$r = 8,0$ см $= 0,08$ м

Найти:

$E$ - модуль напряжённости электростатического поля.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, напряжённость результирующего электростатического поля в некоторой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

Точки, равноудалённые от зарядов $Q_1$ и $Q_2$, образуют с ними равнобедренный треугольник, где заряды находятся в вершинах основания. Длина основания треугольника равна $r_0 = 0,12$ м, а длины боковых сторон равны $r = 0,08$ м.

Модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле: $E = k \frac{|Q|}{r^2}$.

Поскольку по условию $|Q_1| = |Q_2| = Q = 3,2 \cdot 10^{-9}$ Кл и расстояние $r$ до искомых точек одинаково для обоих зарядов, то модули напряжённостей $E_1$ и $E_2$ будут равны:

$E_1 = E_2 = k \frac{Q}{r^2}$

Вектор напряжённости $\vec{E_1}$ от положительного заряда $Q_1$ направлен от заряда. Вектор $\vec{E_2}$ от отрицательного заряда $Q_2$ направлен к заряду.

Для нахождения модуля результирующего вектора $\vec{E}$ воспользуемся методом проекций. Расположим заряды на оси $Ox$ так, чтобы начало координат находилось посередине между ними. Тогда искомая точка $P$ будет лежать на оси $Oy$. Из-за симметрии вертикальные составляющие векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ будут равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому их сумма равна нулю. Горизонтальные составляющие, наоборот, будут направлены в одну сторону и их сумма даст итоговый вектор напряженности $\vec{E}$, который будет параллелен отрезку, соединяющему заряды.

Модуль результирующего поля будет равен $E = E_{1x} + E_{2x}$.

Пусть $\alpha$ — угол между боковой стороной треугольника $r$ и его высотой, опущенной на основание $r_0$. Тогда $E_{1x} = E_1 \sin \alpha$ и $E_{2x} = E_2 \sin \alpha$.

$E = 2 E_1 \sin \alpha$

Из геометрии треугольника видно, что $\sin \alpha = \frac{r_0/2}{r} = \frac{r_0}{2r}$.

Подставим выражения для $E_1$ и $\sin \alpha$ в формулу для $E$:

$E = 2 \left(k \frac{Q}{r^2}\right) \left(\frac{r_0}{2r}\right) = k \frac{Q r_0}{r^3}$

Подставим числовые значения:

$E = (9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \frac{(3,2 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) \cdot (0,12 \text{ м})}{(0,08 \text{ м})^3}$

$E = \frac{9 \cdot 3,2 \cdot 0,12}{0,000512} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = \frac{3,456}{0,000512} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 6750 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Напряженность поля можно также выразить в вольтах на метр (В/м).

$E = 6750$ В/м $= 6,75$ кВ/м.

Ответ: модуль напряжённости электростатического поля равен $6750$ В/м (или $6,75$ кВ/м).