Номер 12, страница 161 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

12. Два противоположных по знаку точечных заряда, модули которых равны, находятся в воздухе. В точке пространства, находящейся на продолжении прямой, соединяющей заряды, и расположенной на расстояниях $r_1 = 10$ мм и $r_2 = 30$ мм от зарядов, потенциал электростатического поля $\varphi = 75$ мВ. Определите модуль напряжённости результирующего поля в этой точке.

Дано:

$r_1 = 10 \text{ мм} = 0.01 \text{ м}$
$r_2 = 30 \text{ мм} = 0.03 \text{ м}$
$φ = 75 \text{ мВ} = 0.075 \text{ В}$
$|q_1| = |q_2| = q$
Заряды противоположны по знаку.
Среда - воздух, диэлектрическая проницаемость $ε \approx 1$.

Найти:

$E$ - модуль напряжённости результирующего поля.

Решение:

Согласно принципу суперпозиции, потенциал поля, созданного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, созданных каждым зарядом в отдельности.

Потенциал, создаваемый точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$, определяется по формуле: $φ = k \frac{q}{r}$, где $k = \frac{1}{4πε_0ε}$ - коэффициент пропорциональности.

Пусть $q_1$ и $q_2$ - наши заряды, причем $|q_1| = |q_2| = q$. Так как они разноименные, пусть $q_1 = +q$, а $q_2 = -q$. Точка, в которой измеряется потенциал, находится на продолжении прямой, соединяющей заряды. Так как потенциал в этой точке положителен ($φ > 0$), значит, она расположена ближе к положительному заряду. Следовательно, расстояние до положительного заряда $q_1$ равно $r_1$, а до отрицательного $q_2$ - $r_2$.

Результирующий потенциал в точке равен: $φ = φ_1 + φ_2 = k \frac{q_1}{r_1} + k \frac{q_2}{r_2} = k \frac{q}{r_1} + k \frac{-q}{r_2} = kq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ $φ = kq \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$

Модуль напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется формулой: $E = k \frac{|q|}{r^2}$

Вектор напряжённости направлен от положительного заряда и к отрицательному. В рассматриваемой точке (обозначим её P) поле $E_1$ от заряда $q_1$ направлено от него, а поле $E_2$ от заряда $q_2$ направлено к нему. Так как точка P лежит на продолжении прямой за зарядом $q_1$, векторы $E_1$ и $E_2$ направлены в противоположные стороны вдоль этой прямой.

Модуль результирующей напряжённости будет равен разности модулей напряжённостей, создаваемых каждым зарядом: $E = |E_1 - E_2|$. Поскольку $r_1 < r_2$, то $E_1 > E_2$. $E = E_1 - E_2 = k \frac{q}{r_1^2} - k \frac{q}{r_2^2} = kq \left( \frac{1}{r_1^2} - \frac{1}{r_2^2} \right)$ $E = kq \frac{r_2^2 - r_1^2}{r_1^2 r_2^2} = kq \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + r_1)}{(r_1 r_2)^2}$

Теперь выразим $kq$ из формулы для потенциала: $kq = \frac{φ \cdot r_1 r_2}{r_2 - r_1}$

Подставим это выражение в формулу для напряжённости: $E = \frac{φ \cdot r_1 r_2}{r_2 - r_1} \cdot \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + r_1)}{(r_1 r_2)^2}$

Сократив одинаковые множители, получим простую расчётную формулу: $E = \frac{φ(r_2 + r_1)}{r_1 r_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $E = \frac{0.075 \cdot (0.03 + 0.01)}{0.01 \cdot 0.03} = \frac{0.075 \cdot 0.04}{0.0003} = \frac{0.003}{0.0003} = 10 \text{ В/м}$

Ответ: $10 \text{ В/м}$.