Номер 11, страница 161 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

11. Электрон и протон из состояния покоя ускоряются в одном и том же однородном электростатическом поле до скоростей, модули которых значительно меньше скорости света. Определите отношение модуля скорости электрона к модулю скорости протона после прохождения ими одинаковых расстояний. Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг, а масса протона $m_p = 1,7 \cdot 10^{-27}$ кг.

Дано:

Масса электрона, $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг
Масса протона, $m_p = 1.7 \cdot 10^{-27}$ кг
Начальные скорости, $v_{e0} = v_{p0} = 0$ (из состояния покоя)
Пройденное расстояние электроном и протоном одинаково, $d_e = d_p = d$.

Найти:

Отношение модуля скорости электрона к модулю скорости протона $\frac{v_e}{v_p}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа $A$, совершаемая силами, действующими на тело, равна изменению его кинетической энергии $\Delta K$:

$A = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная}$

Так как электрон и протон начинают движение из состояния покоя, их начальная кинетическая энергия $K_{начальная}$ равна нулю. Следовательно, работа поля равна конечной кинетической энергии частицы:

$A = K_{конечная} = \frac{1}{2}mv^2$

Работа, совершаемая однородным электростатическим полем с напряженностью $E$ при перемещении заряда $q$ на расстояние $d$ в направлении силы, вычисляется по формуле $A = |q|Ed$.

Модули зарядов электрона и протона равны и равны элементарному заряду $e$. По условию, они ускоряются в одном и том же поле ($E$ = const) и проходят одинаковые расстояния ($d$ = const). Следовательно, работа, совершаемая полем над электроном и протоном, одинакова:

$A_e = eEd$

$A_p = eEd$

Отсюда $A_e = A_p$.

Приравняем конечные кинетические энергии электрона и протона, так как работа, совершенная над ними, одинакова:

$K_e = K_p$

$\frac{1}{2}m_e v_e^2 = \frac{1}{2}m_p v_p^2$

Сократим обе части уравнения на $\frac{1}{2}$:

$m_e v_e^2 = m_p v_p^2$

Теперь выразим из этого равенства искомое отношение скоростей $\frac{v_e}{v_p}$. Для этого разделим обе части на $m_e v_p^2$:

$\frac{v_e^2}{v_p^2} = \frac{m_p}{m_e}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{v_e}{v_p} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$

Подставим числовые значения масс, данные в условии:

$\frac{v_e}{v_p} = \sqrt{\frac{1.7 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1.7}{9.1} \cdot 10^{-27 - (-31)}} = \sqrt{\frac{1.7}{9.1} \cdot 10^4}$

$\frac{v_e}{v_p} \approx \sqrt{0.1868 \cdot 10^4} = \sqrt{1868} \approx 43.22$

Поскольку значения масс даны с двумя значащими цифрами, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $\frac{v_e}{v_p} \approx 43$.