Номер 6, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

6. Точечные заряды закреплены в пространстве относительно оси Ox (рис. 127). Определите координату точки, в которой напряжённость результирующего электростатического поля, создаваемого этими зарядами, принимает нулевое значение.

Рис. 127

Дано:

Заряд $q_1 = 4Q$ в точке с координатой $x_1 = 2$ м.

Заряд $q_2 = -Q$ в точке с координатой $x_2 = 8$ м.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Координату точки $x$, в которой напряжённость результирующего электростатического поля равна нулю ($E_{рез} = 0$).

Решение:

Результирующая напряжённость электростатического поля в некоторой точке пространства равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции полей): $\vec{E}_{рез} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

По условию задачи, $\vec{E}_{рез} = 0$, следовательно, $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$, или $\vec{E}_1 = -\vec{E}_2$. Это означает, что векторы напряжённостей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Так как оба заряда находятся на оси $Ox$, точка, в которой напряженность равна нулю, также должна лежать на этой оси. Рассмотрим три возможных участка на оси $Ox$.

1. Участок между зарядами ($2 \text{ м} < x < 8 \text{ м}$). Напряжённость поля $\vec{E}_1$ от положительного заряда $q_1$ направлена вправо. Напряжённость поля $\vec{E}_2$ от отрицательного заряда $q_2$ также направлена вправо (к отрицательному заряду). Так как оба вектора сонаправлены, их сумма не может быть равна нулю.

2. Участок слева от заряда $q_1$ ($x < 2$ м). Напряжённость $\vec{E}_1$ направлена влево, а напряжённость $\vec{E}_2$ — вправо. Векторы противоположно направлены. Однако модуль заряда $|q_1| = 4Q$ больше модуля заряда $|q_2| = Q$. В этой области любая точка находится ближе к большему по модулю заряду $q_1$. Так как напряженность обратно пропорциональна квадрату расстояния ($E \sim |q|/r^2$), то в этой области всегда будет выполняться условие $|\vec{E}_1| > |\vec{E}_2|$. Следовательно, результирующее поле не может быть равно нулю.

3. Участок справа от заряда $q_2$ ($x > 8$ м). Напряжённость $\vec{E}_1$ направлена вправо, а напряжённость $\vec{E}_2$ — влево. Векторы противоположно направлены. В этой области точка находится дальше от большего по модулю заряда $q_1$ и ближе к меньшему по модулю заряду $q_2$. Следовательно, существует точка, в которой модули напряжённостей могут быть равны.

Итак, искомая точка находится в области $x > 8$ м. Запишем условие равенства модулей напряжённостей $E_1 = E_2$.

Модуль напряжённости поля точечного заряда определяется формулой $E = k \frac{|q|}{r^2}$.

Пусть искомая точка имеет координату $x$. Тогда расстояние от этой точки до заряда $q_1$ равно $r_1 = x - x_1 = x - 2$, а до заряда $q_2$ — $r_2 = x - x_2 = x - 8$.

Подставим эти значения в условие равенства модулей:

$k \frac{|q_1|}{r_1^2} = k \frac{|q_2|}{r_2^2}$

$k \frac{4Q}{(x-2)^2} = k \frac{Q}{(x-8)^2}$

Сократим $k$ и $Q$ (при $Q \neq 0$):

$\frac{4}{(x-2)^2} = \frac{1}{(x-8)^2}$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как мы ищем точку в области $x > 8$, то выражения $x-2$ и $x-8$ положительны.

$\frac{2}{x-2} = \frac{1}{x-8}$

Решим полученное уравнение:

$2(x-8) = 1(x-2)$

$2x - 16 = x - 2$

$2x - x = 16 - 2$

$x = 14$

Координата $x = 14$ м удовлетворяет условию $x > 8$ м.

Ответ: $x = 14$ м.