Номер 5, страница 160 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

5. Два маленьких шарика массой $m = 0,04$ кг каждый подвешены в одной точке на нитях длиной $l = 0,2$ м. При сообщении шарикам одинаковых зарядов нити разошлись на угол $\alpha = 60^{\circ}$. Определите модуль зарядов шариков.

Дано:

Масса каждого шарика $m = 0,04$ кг
Длина нити $l = 0,2$ м
Угол расхождения нитей $\alpha = 60^\circ$
Заряды шариков одинаковы $q_1 = q_2 = q$
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²
Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Модуль заряда каждого шарика $|q|$.

Решение:

Когда шарикам сообщили одинаковые заряды, они оттолкнулись друг от друга и заняли положение равновесия. Рассмотрим один из шариков. На него действуют три силы:

• Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
• Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.
• Сила Кулона (электростатического отталкивания) $\vec{F_e}$, направленная горизонтально от другого шарика.

Поскольку шарик находится в равновесии, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю: $m\vec{g} + \vec{T} + \vec{F_e} = 0$.

Для решения задачи спроецируем силы на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально. Угол, который нить составляет с вертикалью, равен $\beta = \alpha/2 = 60^\circ/2 = 30^\circ$.

Запишем уравнения равновесия в проекциях на оси:

На ось OX: $F_e - T \sin\beta = 0 \implies F_e = T \sin\beta$

На ось OY: $T \cos\beta - mg = 0 \implies T = \frac{mg}{\cos\beta}$

Подставим выражение для силы натяжения $T$ из второго уравнения в первое: $F_e = \frac{mg}{\cos\beta} \sin\beta = mg \tan\beta$.

Сила Кулона определяется по закону Кулона: $F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$, где $r$ – расстояние между шариками.

Расстояние $r$ можно найти из геометрии. Шарики и точка подвеса образуют равнобедренный треугольник. Расстояние от точки подвеса до шарика по горизонтали равно $l \sin\beta$. Тогда расстояние между шариками: $r = 2l \sin\beta$.

Приравняем два выражения для силы Кулона и подставим выражение для $r$: $mg \tan\beta = k \frac{q^2}{(2l \sin\beta)^2}$

Выразим из этого уравнения квадрат заряда $q^2$: $q^2 = \frac{mg \tan\beta \cdot (2l \sin\beta)^2}{k} = \frac{4l^2 \sin^2\beta \cdot mg \tan\beta}{k}$

Тогда модуль заряда $|q|$ равен: $|q| = \sqrt{\frac{4l^2 \sin^2\beta \cdot mg \tan\beta}{k}} = 2l \sin\beta \sqrt{\frac{mg \tan\beta}{k}}$

Подставим числовые значения: $|q| = 2 \cdot 0,2 \cdot \sin(30^\circ) \sqrt{\frac{0,04 \cdot 9,8 \cdot \tan(30^\circ)}{9 \cdot 10^9}}$

Так как $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$: $|q| = 2 \cdot 0,2 \cdot 0,5 \sqrt{\frac{0,04 \cdot 9,8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{9 \cdot 10^9}} = 0,2 \sqrt{\frac{0,392}{1,732 \cdot 9 \cdot 10^9}}$

$|q| = 0,2 \sqrt{\frac{0,2263}{9 \cdot 10^9}} = 0,2 \sqrt{0,02514 \cdot 10^{-9}} = 0,2 \sqrt{25,14 \cdot 10^{-12}}$

$|q| \approx 0,2 \cdot 5,014 \cdot 10^{-6} \approx 1,0028 \cdot 10^{-6}$ Кл

Округляя до двух значащих цифр, получаем: $|q| \approx 1,0 \cdot 10^{-6}$ Кл, или $1$ мкКл.

Ответ: $|q| \approx 1,0 \cdot 10^{-6}$ Кл.