Номер 1295, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1295. Постройте четырехугольник:

а) по трем его сторонам и двум диагоналям;

б) по трем его сторонам, углу и диагонали;

в) по четырем его сторонам и углу;

г) по двум его диагоналям, углу между ними и двум сторонам;

д) по трем его сторонам и двум соседним углам;

е) по двум соседним углам, углу между диагоналями и двум смежным сторонам;

ж) по трем его углам и двум противоположным сторонам.

а) по трем его сторонам и двум диагоналям;

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, и известны длины трех последовательных сторон $AB, BC, CD$ и двух диагоналей $AC, BD$.

Анализ: Задачу можно разбить на построение двух треугольников с общей стороной. Сначала строим треугольник $ABC$ по трем сторонам ($AB, BC, AC$). Затем, имея вершины $B$ и $C$, строим треугольник $BCD$ по трем сторонам ($BC, CD, BD$).

Построение:

1. Построим треугольник $ABC$ по трем сторонам $AB$, $BC$ и $AC$:
   • Проведем отрезок $AB$ заданной длины.
   • Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине диагонали $AC$.
   • Из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $BC$.
   • Точка пересечения дуг будет вершиной $C$.
2. Теперь найдем положение вершины $D$, используя известные длины $CD$ и $BD$:
   • Из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $CD$.
   • Из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине диагонали $BD$.
   • Точка пересечения этих двух дуг будет вершиной $D$.
3. Соединим последовательно точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым.

Исследование: Задача имеет решение (до двух, в зависимости от выбора точек пересечения), если существуют треугольники $ABC$ и $BCD$, то есть для их сторон выполняются неравенства треугольника.

Ответ: Четырехугольник построен.

б) по трем его сторонам, углу и диагонали;

Предположим, что даны три последовательные стороны $AB, BC, CD$, угол $\angle B$ между сторонами $AB$ и $BC$, и диагональ $BD$.

Анализ: Сначала можно построить треугольник по двум сторонам и углу между ними ($AB, BC, \angle B$), что даст нам вершины $A, B, C$. Затем, зная положение точек $B$ и $C$, а также длины отрезков $BD$ и $CD$, можно найти точку $D$ как пересечение двух окружностей.

Построение:

1. Построим угол, равный данному углу $\angle B$. Обозначим его вершину как $B$.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $BA$, равный длине стороны $AB$.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $BC$, равный длине стороны $BC$. Таким образом, мы построили три вершины $A, B, C$.
4. Найдем вершину $D$. Нам известны расстояния от $D$ до точек $B$ и $C$: $BD$ (диагональ) и $CD$ (сторона).
   • Из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине диагонали $BD$.
   • Из точки $C$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $CD$.
   • Точка пересечения этих дуг будет вершиной $D$.
5. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получим искомый четырехугольник.

Исследование: Задача может иметь два, одно или ни одного решения, в зависимости от числа точек пересечения окружностей на шаге 4.

Ответ: Четырехугольник построен.

в) по четырем его сторонам и углу;

Пусть даны четыре стороны $AB, BC, CD, DA$ и угол $\angle A$ между сторонами $AB$ и $DA$.

Анализ: Мы можем построить треугольник $ABD$ по двум сторонам ($AB, DA$) и углу между ними ($\angle A$). После этого у нас будут три вершины $A, B, D$. Четвертую вершину $C$ можно найти, зная ее расстояния до точек $B$ и $D$ (стороны $BC$ и $CD$).

Построение:

1. Построим угол, равный данному углу $\angle A$. Обозначим его вершину как $A$.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $AB$ заданной длины.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $AD$ заданной длины. Таким образом, мы построили вершины $A, B, D$.
4. Чтобы найти четвертую вершину $C$, воспользуемся известными длинами сторон $BC$ и $CD$:
   • Из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $BC$.
   • Из точки $D$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $CD$.
   • Точка пересечения этих дуг и будет вершиной $C$.
5. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получим искомый четырехугольник.

Исследование: Задача может иметь два, одно или ни одного решения, в зависимости от числа точек пересечения окружностей и выполнимости неравенства треугольника для $\triangle BCD$.

Ответ: Четырехугольник построен.

г) по двум его диагоналям, углу между ними и двум сторонам;

Предположим, что даны две смежные стороны $AB$ и $BC$, две диагонали $AC$ и $BD$, и угол $\gamma$ между диагоналями.

Анализ: Сначала построим треугольник $ABC$ по трем сторонам. Затем найдем вершину $D$. Положение $D$ определяется двумя условиями: расстояние от $B$ до $D$ равно длине диагонали $BD$, и прямая $BD$ должна пересекать прямую $AC$ под заданным углом $\gamma$.

Построение:

1. Построим треугольник $ABC$ по трем сторонам: $AB$, $BC$ и $AC$ (диагональ).
2. Проведем прямую $l$, содержащую отрезок $AC$.
3. Через точку $B$ проведем прямую $m$ так, чтобы она пересекала прямую $l$ под заданным углом $\gamma$. (Для этого можно в любой точке на прямой $l$ построить угол $\gamma$, а затем провести через точку $B$ прямую, параллельную второй стороне построенного угла). Прямая $m$ содержит диагональ $BD$.
4. На прямой $m$ от точки $B$ отложим отрезок, равный длине диагонали $BD$. Конец этого отрезка (отличный от $B$) и будет вершиной $D$.
5. Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, получим искомый четырехугольник.

Исследование: В зависимости от того, в какую сторону откладывать угол $\gamma$ и отрезок $BD$, задача может иметь до четырех решений.

Ответ: Четырехугольник построен.

д) по трем его сторонам и двум соседним углам;

Пусть даны три последовательные стороны $AB, BC, CD$ и два угла $\angle B$ и $\angle C$, прилегающие к стороне $BC$.

Анализ: Это прямое построение. Начинаем со стороны $BC$, к которой прилегают оба известных угла. Откладывая от вершин $B$ и $C$ заданные углы и стороны, мы однозначно определяем положение вершин $A$ и $D$.

Построение:

1. Начертим отрезок $BC$ заданной длины.
2. В точке $B$ построим угол, равный данному углу $\angle B$, так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $BC$.
3. На второй стороне построенного угла отложим от точки $B$ отрезок $BA$ равный заданной длине. Мы нашли вершину $A$.
4. Аналогично в точке $C$ построим угол, равный данному углу $\angle C$, так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $CB$.
5. На второй стороне этого угла отложим от точки $C$ отрезок $CD$ равный заданной длине. Мы нашли вершину $D$.
6. Соединим точки $A$ и $D$. Четырехугольник $ABCD$ построен.

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Четырехугольник построен.

е) по двум соседним углам, углу между диагоналями и двум смежным сторонам;

Предположим, даны две смежные стороны $AB, BC$, два прилегающих к ним угла $\angle B, \angle C$, и угол $\gamma$ между диагоналями $AC$ и $BD$.

Анализ: Сначала построим три вершины $A,B,C$ используя стороны $AB, BC$ и угол $\angle B$. Затем найдем вершину $D$, которая должна лежать на луче, выходящем из $C$ под углом $\angle C$, и одновременно на прямой, проходящей через $B$ и пересекающей $AC$ под углом $\gamma$.

Построение:

1. Построим отрезок $BC$ заданной длины.
2. В точке $B$ построим луч $l_{BA}$ так, чтобы угол $\angle(l_{BA}, BC) = \angle B$. На этом луче отложим отрезок $BA$ заданной длины. Получены вершины $A, B, C$.
3. В точке $C$ построим луч $l_{CD}$ так, чтобы угол $\angle(BC, l_{CD}) = \angle C$. Вершина $D$ должна лежать на этом луче.
4. Проведем прямую $m_{AC}$ через точки $A$ и $C$.
5. Через точку $B$ проведем прямую $m_{BD}$ так, чтобы она пересекала прямую $m_{AC}$ под заданным углом $\gamma$.
6. Точка пересечения луча $l_{CD}$ и прямой $m_{BD}$ является искомой вершиной $D$.
7. Соединив точки, получим четырехугольник $ABCD$.

Исследование: Задача имеет решение, если луч $l_{CD}$ и прямая $m_{BD}$ пересекаются.

Ответ: Четырехугольник построен.

ж) по трем его углам и двум противоположным сторонам.

Пусть даны две противоположные стороны $AB=a$, $CD=c$ и три угла $\angle A, \angle B, \angle C$. Четвертый угол $\angle D = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle C$.

Анализ: Метод построения основан на использовании геометрического места точек. Мы задаем "скелет" четырехугольника из двух лучей (содержащих стороны $AD$ и $BC$) и стороны $AB$, а затем находим положение стороны $CD$, используя ее длину и ориентацию относительно стороны $AD$.

Построение:

1. Проведем прямую $l$. Выберем на ней точку $A$. Эта прямая будет содержать сторону $AD$.
2. От луча на прямой $l$ с началом в $A$ отложим угол $\angle A$ и на второй стороне угла отложим отрезок $AB=a$.
3. В точке $B$ построим луч $m$ так, чтобы он образовывал с отрезком $BA$ угол $\angle B$. На этом луче будет лежать вершина $C$.
4. Теперь построим геометрическое место точек (ГМТ) для вершины $C$. Оно определяется тем, что расстояние от $C$ до некоторой точки $D$ на прямой $l$ должно быть равно $c$, а угол при вершине $D$ должен быть равен $\angle D$. Это эквивалентно тому, что точка $C$ лежит на прямой $p$, параллельной $l$.
5. Чтобы построить прямую $p$, в точке $A$ отложим от прямой $l$ угол $180^\circ - \angle D$ и на полученном луче отложим отрезок $AP$ длиной $c$. Прямая $p$ проходит через точку $P$ параллельно прямой $l$.
6. Вершина $C$ является точкой пересечения луча $m$ и прямой $p$.
7. Найдя вершину $C$, проведем из нее прямую, параллельную $AP$, до пересечения с прямой $l$. Точка пересечения — это $D$.
8. Четырехугольник $ABCD$ построен.

Исследование: Задача имеет решение, если луч $m$ и прямая $p$ пересекаются.

Ответ: Четырехугольник построен.