Номер 1290, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1290. Через данную вне окружности точку проведите секущую так, чтобы полученная хорда была равна внешней части секущей.

Для решения этой задачи на построение сначала проведём анализ, чтобы найти свойство, связывающее искомую секущую с данными элементами (окружностью и точкой). Затем, на основе этого свойства, опишем алгоритм построения.

Анализ

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и точка $P$ вне этой окружности. Предположим, что искомая секущая уже построена. Она проходит через точку $P$ и пересекает окружность в точках $A$ и $B$, причём точка $A$ расположена между $P$ и $B$. По условию задачи, длина хорды $AB$ равна длине внешней части секущей $PA$.

Обозначим длину отрезка $PA$ через $x$. Тогда, согласно условию, $AB = x$. Длина всего отрезка секущей от точки $P$ до дальней точки пересечения $B$ будет равна $PB = PA + AB = x + x = 2x$.

Применим теорему о степени точки относительно окружности (также известную как теорема о касательной и секущей). Проведём из точки $P$ касательную к окружности $\omega$, и пусть $T$ — точка касания. Согласно этой теореме, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от точки $P$ до точек пересечения с окружностью: $PT^2 = PA \cdot PB$

Подставим в это равенство наши обозначения, выраженные через $x$: $PT^2 = x \cdot (2x) = 2x^2$

Из этого соотношения мы можем выразить $x$: $x^2 = \frac{PT^2}{2} \implies x = \frac{PT}{\sqrt{2}}$

Результат анализа показывает, что искомая точка $A$ (ближняя к $P$ точка пересечения секущей с окружностью) должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна лежать на данной окружности $\omega$.
2. Она должна находиться на расстоянии $x = \frac{PT}{\sqrt{2}}$ от точки $P$.

Следовательно, точка $A$ является точкой пересечения окружности $\omega$ и вспомогательной окружности с центром в $P$ и радиусом $x$. Задача сводится к построению отрезка касательной $PT$, затем отрезка длиной $x$ и нахождению указанных точек пересечения.

Построение

Алгоритм построения искомой секущей:

1. Построение касательной. Соединяем точку $P$ с центром окружности $O$. Находим середину $M$ отрезка $OP$. Строим окружность с центром $M$ и радиусом $MP$. Точка пересечения этой окружности с данной окружностью $\omega$ и будет точкой касания $T$. Проводим отрезок $PT$.
2. Построение отрезка длиной $x$. На отрезке $PT$ как на гипотенузе строим равнобедренный прямоугольный треугольник $\triangle PST$. Длина катета $PS$ будет равна $\frac{PT}{\sqrt{2}}$. Этот отрезок $PS$ и будет искомым радиусом $x$.
3. Нахождение точки пересечения. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $P$ и радиусом $x=PS$. Точки пересечения этой окружности с данной окружностью $\omega$ являются искомыми точками. Обозначим одну из них как $A$.
4. Построение секущей. Проводим прямую через точку $P$ и найденную точку $A$. Эта прямая и является искомой секущей.

Доказательство

Пусть построенная прямая $PA$ пересекает окружность $\omega$ в точках $A$ и $B$. По построению, $PA$ равно радиусу вспомогательной окружности, то есть $PA = PS$. Из построения равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle PST$ следует, что $PS = \frac{PT}{\sqrt{2}}$. Таким образом, $PA = \frac{PT}{\sqrt{2}}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $PA^2 = \frac{PT^2}{2}$, или $2PA^2 = PT^2$.

По теореме о касательной и секущей, $PT^2 = PA \cdot PB$.

Приравнивая выражения для $PT^2$, получаем $2PA^2 = PA \cdot PB$. Поскольку точка $P$ находится вне окружности, $PA \ne 0$, и мы можем разделить обе части равенства на $PA$, получив $2PA = PB$.

Так как точка $A$ лежит между $P$ и $B$, то $PB = PA + AB$. Подставляя это в предыдущее равенство, имеем $2PA = PA + AB$. Вычитая $PA$ из обеих частей, получаем $PA = AB$.

Это означает, что длина хорды $AB$ равна длине внешней части секущей $PA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая секущая — это прямая, проходящая через данную точку $P$ и точку $A$, где $A$ является точкой пересечения данной окружности и вспомогательной окружности с центром в $P$. Радиус этой вспомогательной окружности равен катету равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является отрезок касательной, проведённой из точки $P$ к данной окружности. Алгоритм построения описан выше.