Номер 1287, страница 175 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1287. Постройте квадрат:

а) по сумме его стороны с диагональю;

б) три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.

а) по сумме его стороны с диагональю;

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ равна $d$. Известно, что $d = a\sqrt{2}$. Нам дан отрезок $S$, равный сумме стороны и диагонали: $S = a + d = a + a\sqrt{2} = a(1 + \sqrt{2})$.

Наша задача — по данному отрезку $S$ построить отрезок $a$. Выразим $a$ из формулы:

$a = \frac{S}{1 + \sqrt{2}} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{S(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = S\sqrt{2} - S$.

Отсюда следует алгоритм построения. Величина $S\sqrt{2}$ — это диагональ квадрата со стороной $S$.

Этапы построения:

1. На прямой отложим данный отрезок $PQ$, длина которого равна $S$.
2. В точке $P$ восставим перпендикуляр к прямой $PQ$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $PR$, равный $PQ$ (т.е. длиной $S$).
4. Соединим точки $R$ и $Q$. В получившемся прямоугольном равнобедренном треугольнике $PQR$ гипотенуза $RQ$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{S^2 + S^2} = S\sqrt{2}$.
5. С помощью циркуля из точки $Q$ проведем дугу радиусом $QP=S$ так, чтобы она пересекла гипотенузу $RQ$. Точку пересечения назовем $T$. Длина отрезка $TQ$ равна $S$.
6. Длина оставшейся части гипотенузы, отрезка $RT$, будет равна $RQ - TQ = S\sqrt{2} - S$. Это и есть искомая сторона квадрата $a$.
7. Имея сторону $a=RT$, строим квадрат. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB=a$. В точках $A$ и $B$ восставляем перпендикуляры к $AB$. Откладываем на них отрезки $AD=a$ и $BC=a$. Соединяем точки $C$ и $D$. Фигура $ABCD$ — искомый квадрат.

Ответ: Построение выполнено, сторона квадрата найдена как разность между диагональю и стороной другого квадрата, сторона которого равна заданной сумме.

б) три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых.

Пусть даны три различные параллельные прямые $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Обозначим искомый квадрат как $ABCD$. Три его вершины должны лежать на этих прямых. Любые три вершины квадрата образуют равнобедренный прямоугольный треугольник (например, вершины $A, B, C$ образуют треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$).

Рассмотрим один из возможных случаев расположения вершин, который покрывает все геометрические конфигурации. Пусть вершина $B$ лежит на "средней" прямой $l_2$, а две смежные с ней вершины $A$ и $C$ лежат на "внешних" прямых $l_1$ и $l_3$ соответственно. В этом случае $AB=BC$ и $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что вершина $C$ может быть получена поворотом вершины $A$ на $90^\circ$ вокруг точки $B$. Следовательно, прямая $l_3$, на которой лежит точка $C$, должна содержать образ прямой $l_1$ при повороте на $90^\circ$ вокруг точки $B$. Это наблюдение лежит в основе построения.

Этапы построения:

1. Выберем на средней прямой $l_2$ произвольную точку $B$. Эта точка будет одной из вершин искомого квадрата.
2. Построим образ прямой $l_1$ при повороте на $90^\circ$ (по или против часовой стрелки) вокруг точки $B$. Обозначим полученную прямую $l_1'$.
   • Для этого опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l_1$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра.
   • Повернем точку $H$ на $90^\circ$ вокруг $B$, получим точку $H'$. Это значит, что нужно построить отрезок $BH'$, равный $BH$ и перпендикулярный ему.
   • Через точку $H'$ проведем прямую $l_1'$, перпендикулярную прямой $BH'$. Эта прямая и будет образом $l_1$ при повороте.
3. Найдем точку пересечения прямой $l_1'$ и прямой $l_3$. Обозначим эту точку $C$. Это вторая вершина нашего квадрата. Так как $l_1$ и $l_3$ параллельны, а $l_1'$ получается поворотом $l_1$ на $90^\circ$, то $l_1'$ и $l_3$ будут перпендикулярны и всегда пересекутся в единственной точке.
4. Теперь, когда у нас есть вершины $B$ и $C$, мы можем найти третью вершину $A$. Так как $C$ была получена поворотом $A$ на $90^\circ$ вокруг $B$, то $A$ можно найти, совершив обратный поворот $C$ на $-90^\circ$ (т.е. в другую сторону) вокруг $B$. Полученная точка $A$ будет лежать на прямой $l_1$.
5. Мы получили три вершины квадрата: $A$ на $l_1$, $B$ на $l_2$ и $C$ на $l_3$. Четвертую вершину $D$ строим, отложив от точки $A$ вектор $\vec{BC}$ или от точки $C$ вектор $\vec{BA}$. То есть $D = A + \vec{BC}$.

Примечание: выбор точки $B$ на прямой $l_2$ произволен, но все построенные таким образом квадраты будут конгруэнтны. Существует два решения, в зависимости от направления поворота (на $+90^\circ$ или $-90^\circ$). Также возможны решения, когда на средней прямой лежит не вершина с прямым углом, а одна из двух других вершин; метод построения аналогичен (поворот одной из прямых вокруг точки на другой прямой).

Ответ: Построение выполнено с использованием метода геометрических преобразований, в частности, поворота на 90 градусов.