Номер 1283, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1283. Параллельно стороне данного треугольника постройте прямую, отрезок которой с концами на сторонах этого треугольника равен сумме отрезков, заключенных между этой прямой и основанием.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется построить прямую, параллельную стороне $AC$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, так, чтобы выполнялось условие $MN = AM + CN$.

Анализ

Предположим, что искомая прямая $MN$ построена ($M \in AB$, $N \in BC$ и $MN \parallel AC$). По условию $MN = AM + CN$.
Проведем биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle C$ данного треугольника. Пусть искомая прямая $MN$ пересекает биссектрису угла $\angle A$ в точке $K$, а биссектрису угла $\angle C$ в точке $L$.
Рассмотрим биссектрису, выходящую из вершины $A$. Поскольку $MN \parallel AC$, то накрест лежащие углы $\angle MKA$ и $\angle KAC$ равны.
Так как луч, содержащий $AK$, — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle MAK = \angle KAC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle MAK = \angle MKA$.
Следовательно, треугольник $AMK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и, значит, $AM = MK$.
Аналогично, рассмотрим биссектрису, выходящую из вершины $C$. Поскольку $MN \parallel AC$, то накрест лежащие углы $\angle NLC$ и $\angle LCA$ равны.
Так как луч, содержащий $CL$, — биссектриса угла $\angle C$, то $\angle NCL = \angle LCA$.
Отсюда следует, что $\angle NCL = \angle NLC$.
Следовательно, треугольник $CNL$ является равнобедренным с основанием $CL$, и, значит, $CN = NL$.
По условию задачи $MN = AM + CN$. Подставим в это равенство найденные соотношения: $MN = MK + NL$.
В то же время, отрезок $MN$ можно представить как сумму $MN = MK + KL + LN$ (предполагая, что точка $K$ находится между $M$ и $L$).
Сравнивая два выражения для $MN$, получаем: $MK + KL + LN = MK + NL$.
Это равенство выполняется только в том случае, если $KL = 0$, то есть точки $K$ и $L$ совпадают.
Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, а точка $L$ — на биссектрисе угла $\angle C$. Если они совпадают, то эта общая точка является точкой пересечения биссектрис — инцентром треугольника $ABC$.
Таким образом, искомая прямая $MN$ должна проходить через инцентр $I$ треугольника $ABC$.

Построение

1. Строим биссектрисы двух углов треугольника, прилежащих к стороне $AC$, то есть углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$.
2. Находим точку их пересечения $I$. Эта точка является центром вписанной в $\triangle ABC$ окружности (инцентром).
3. Через точку $I$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$.
4. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.
5. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является искомой.

Доказательство

Пусть прямая, проходящая через инцентр $I$ треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажем, что $MN = AM + CN$.
Поскольку $I$ — инцентр, луч $AI$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Таким образом, $\angle MAI = \angle IAC$.
По построению $MN \parallel AC$. Следовательно, углы $\angle MIA$ и $\angle IAC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $AI$.
Из этого следует, что $\angle MAI = \angle MIA$. Значит, $\triangle AMI$ — равнобедренный с основанием $AI$, и $AM = MI$.
Аналогично, луч $CI$ является биссектрисой угла $\angle BCA$, поэтому $\angle NCI = \angle ICA$.
Так как $MN \parallel AC$, углы $\angle NIC$ и $\angle ICA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $CI$.
Отсюда $\angle NCI = \angle NIC$. Значит, $\triangle CNI$ — равнобедренный с основанием $CI$, и $CN = NI$.
Длина отрезка $MN$ равна сумме длин его частей $MI$ и $NI$: $MN = MI + NI$.
Подставляя в это равенство $MI = AM$ и $NI = CN$, получаем: $MN = AM + CN$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) параллельно данной стороне.