Номер 1279, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1279. Постройте отрезок с концами на двух данных прямых, который равен и параллелен данному отрезку $AB$.

Пусть даны две прямые, $a$ и $b$, и отрезок $AB$. Задача состоит в построении отрезка $MN$ такого, что точка $M$ лежит на прямой $a$, точка $N$ — на прямой $b$, и при этом отрезок $MN$ равен и параллелен отрезку $AB$.

Условие равенства и параллельности отрезков $MN$ и $AB$ означает, что векторы, их представляющие, равны: $\vec{MN} = \vec{AB}$ или $\vec{MN} = \vec{BA}$. Это позволяет решить задачу методом параллельного переноса.

Рассмотрим случай, когда $\vec{MN} = \vec{AB}$. Из этого равенства следует, что точка $N$ является образом точки $M$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Поскольку точка $M$ по условию лежит на прямой $a$, ее образ, точка $N$, должна лежать на образе прямой $a$ — прямой $a'$, полученной в результате параллельного переноса прямой $a$ на вектор $\vec{AB}$. С другой стороны, точка $N$ также должна лежать на прямой $b$. Следовательно, точка $N$ является точкой пересечения прямой $b$ и построенной прямой $a'$. Найдя точку $N$, можно найти и точку $M$.

Построение
Для нахождения отрезка $MN$, для которого $\vec{MN} = \vec{AB}$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выполнить параллельный перенос прямой $a$ на вектор $\vec{AB}$, чтобы получить прямую $a'$. Для этого достаточно перенести любую одну точку прямой $a$. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $P$ и построим точку $P'$ такую, что $\vec{PP'} = \vec{AB}$. Затем через точку $P'$ проведем прямую $a'$, параллельную прямой $a$.
2. Найти точку пересечения $N$ построенной прямой $a'$ и данной прямой $b$. Эта точка будет одним из концов искомого отрезка.
3. Найти второй конец отрезка, точку $M$ на прямой $a$. Так как $\vec{MN} = \vec{AB}$, то $\vec{NM} = \vec{BA}$. Значит, точку $M$ можно найти, выполнив параллельный перенос точки $N$ на вектор $\vec{BA}$.
4. Отрезок $MN$ — искомый.

Анализ количества решений
Вышеописанный алгоритм позволяет построить отрезок, для которого $\vec{MN} = \vec{AB}$. Аналогичным образом можно построить и второй возможный отрезок, для которого $\vec{MN} = \vec{BA}$. Для этого на первом шаге нужно выполнять перенос прямой $a$ на вектор $\vec{BA}$. В зависимости от взаимного расположения исходных данных, задача может иметь разное количество решений.

1. Если данные прямые $a$ и $b$ пересекаются. В этом случае прямая $a'$, параллельная $a$, также пересечет прямую $b$ в единственной точке. Это даст одно решение. Аналогично, перенос на вектор $\vec{BA}$ даст второе решение. Таким образом, задача, как правило, имеет два решения.

2. Если данные прямые $a$ и $b$ параллельны. Прямая $a'$, полученная переносом, будет также им параллельна. Если $a'$ совпадает с $b$ (то есть вектор $\vec{AB}$ как раз "переводит" одну прямую в другую), то решений будет бесконечно много. Если же $a'$ не совпадает с $b$, то у них нет общих точек, и решений для данного направления вектора нет. То же самое верно и для переноса на вектор $\vec{BA}$. Следовательно, если прямые параллельны, задача либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много.

Ответ: Для построения искомого отрезка необходимо выполнить параллельный перенос одной из данных прямых ($a$) на данный вектор ($\vec{AB}$). Точка пересечения ($N$) полученной прямой ($a'$) со второй данной прямой ($b$) будет одним из концов искомого отрезка. Второй конец ($M$) находится путем параллельного переноса точки $N$ на противоположный вектор ($\vec{BA}$). Аналогичное построение с использованием вектора $\vec{BA}$ для первоначального переноса дает второе возможное решение.