Номер 1274, страница 174 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1274. Выразите расстояние от вершины $D$ треугольной пирамиды $ABCD$ до ее основания $ABC$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Расстояние от вершины $D$ до основания $ABC$ — это высота $h$ пирамиды $ABCD$, опущенная из вершины $D$. Объем пирамиды $V$ связан с высотой $h$ и площадью основания $S_{ABC}$ формулой: $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$. Отсюда искомое расстояние (высота) выражается как $h = \frac{3V}{S_{ABC}}$.

Чтобы найти $h$, выразим объем пирамиды и площадь ее основания через заданные векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды), построенного на векторах $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$, выходящих из одной вершины, равен одной шестой модуля их смешанного произведения. Смешанное произведение векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ обозначается как $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ и вычисляется как $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$. Таким образом, объем пирамиды $V$ равен:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})|$

Площадь основания, треугольника $ABC$, равна половине модуля векторного произведения векторов, образующих две его стороны, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$. Выразим векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ через заданные векторы с началом в точке $D$:

$\vec{AB} = \vec{DB} - \vec{DA}$

$\vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA}$

Теперь найдем их векторное произведение, используя его свойства (дистрибутивность, антикоммутативность $\vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u}$ и то, что $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$):

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (\vec{DB} - \vec{DA}) \times (\vec{DC} - \vec{DA}) = \vec{DB} \times \vec{DC} - \vec{DB} \times \vec{DA} - \vec{DA} \times \vec{DC} + \vec{DA} \times \vec{DA}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{DB} \times \vec{DC} + \vec{DA} \times \vec{DB} + \vec{DC} \times \vec{DA}$

Следовательно, площадь основания равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{DA} \times \vec{DB} + \vec{DB} \times \vec{DC} + \vec{DC} \times \vec{DA}|$

Наконец, подставим полученные выражения для объема $V$ и площади основания $S_{ABC}$ в формулу для высоты $h$ и упростим:

$h = \frac{3V}{S_{ABC}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{6} |(\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})|}{\frac{1}{2} |\vec{DA} \times \vec{DB} + \vec{DB} \times \vec{DC} + \vec{DC} \times \vec{DA}|} = \frac{|(\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})|}{|\vec{DA} \times \vec{DB} + \vec{DB} \times \vec{DC} + \vec{DC} \times \vec{DA}|}$

Ответ: $\frac{|(\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC})|}{|\vec{DA} \times \vec{DB} + \vec{DB} \times \vec{DC} + \vec{DC} \times \vec{DA}|}$