Номер 1269, страница 173 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1269. Докажите, что если три прямые, содержащие высоты треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке, то через эту точку проходит и прямая, содержащая четвертую высоту.

Пусть дана треугольная пирамида $ABCD$. Обозначим через $O$ точку пересечения трех прямых, содержащих высоты, опущенные из вершин $A$, $B$ и $C$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в точку $O$. Тогда векторы $\vec{a}=\vec{OA}$, $\vec{b}=\vec{OB}$, $\vec{c}=\vec{OC}$ и $\vec{d}=\vec{OD}$ являются радиус-векторами вершин пирамиды.

Прямая, содержащая высоту из некоторой вершины, перпендикулярна противолежащей грани. Условие, что прямые, содержащие высоты из $A$, $B$ и $C$, проходят через точку $O$, означает:

1. Прямая $AO$ (направляющий вектор $\vec{a}$) перпендикулярна плоскости $BCD$.
2. Прямая $BO$ (направляющий вектор $\vec{b}$) перпендикулярна плоскости $ACD$.
3. Прямая $CO$ (направляющий вектор $\vec{c}$) перпендикулярна плоскости $ABD$.

Запишем эти условия в виде скалярных произведений. Прямая перпендикулярна плоскости, если ее направляющий вектор ортогонален любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости.

1. Из $AO \perp (BCD)$ следует, что вектор $\vec{a}$ ортогонален векторам $\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c}$ и $\vec{DB} = \vec{b} - \vec{d}$:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$.
$\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{d}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{d}$.
Отсюда получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{d}$.

2. Аналогично, из $BO \perp (ACD)$ следует, что $\vec{b}$ ортогонален векторам $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c}$ и $\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d}$:
$\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{c}$.
$\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{d}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{d}$.
Отсюда: $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d}$.

3. И из $CO \perp (ABD)$ следует, что $\vec{c}$ ортогонален векторам $\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{DA} = \vec{a} - \vec{d}$:
$\vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b}$.
$\vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{d}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{d}$.
Отсюда: $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{d}$.

Объединим полученные равенства. Учитывая коммутативность скалярного произведения ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$), мы можем заключить, что скалярные произведения радиус-векторов любых двух различных вершин равны одной и той же константе $k$.
Действительно, пусть $\vec{a} \cdot \vec{b} = k$. Из первого набора равенств следует $\vec{a} \cdot \vec{c} = k$ и $\vec{a} \cdot \vec{d} = k$. Из второго, так как $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} = k$, следует $\vec{b} \cdot \vec{c} = k$ и $\vec{b} \cdot \vec{d} = k$. Из третьего, так как $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{c} = k$, следует $\vec{c} \cdot \vec{d} = k$.
Таким образом, мы установили, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{d} = k$.

Теперь нам нужно доказать, что прямая, содержащая четвертую высоту (из вершины $D$), также проходит через точку $O$. Это эквивалентно доказательству того, что прямая $DO$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
Для этого нужно показать, что направляющий вектор прямой $DO$, то есть вектор $\vec{d}$, ортогонален двум неколлинеарным векторам в плоскости $ABC$, например, векторам $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.

Проверим ортогональность:
$\vec{d} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{d} \cdot \vec{b} - \vec{d} \cdot \vec{a} = k - k = 0$.
$\vec{d} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{d} \cdot \vec{c} - \vec{d} \cdot \vec{a} = k - k = 0$.

Поскольку вектор $\vec{d}$ ортогонален двум векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, соответствующим пересекающимся прямым $AB$ и $AC$ в плоскости $ABC$, он ортогонален и самой плоскости $ABC$. Следовательно, прямая $DO$ содержит высоту пирамиды, опущенную из вершины $D$.
Таким образом, доказано, что четвертая высота проходит через точку пересечения первых трех высот. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.