Номер 1263, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1263. Докажите, что для треугольника $ABC$ с площадью $S$ выполняется равенство $ctg \angle BAC + ctg \angle CBA + ctg \angle ACB = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S}$, где $a = BC, b = AC, c = AB$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ как $A = \angle BAC$, $B = \angle CBA$ и $C = \angle ACB$. Соответствующие им противолежащие стороны равны $a$, $b$ и $c$. Требуется доказать равенство: $ \ctg A + \ctg B + \ctg C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S} $.

Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов и формулой площади треугольника.

Из теоремы косинусов для угла $A$ следует: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. Выразим отсюда косинус угла $A$: $ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}bc \sin A$. Выразим отсюда синус угла $A$: $ \sin A = \frac{2S}{bc} $.

Теперь, используя определение котангенса $ \ctg A = \frac{\cos A}{\sin A} $, подставим полученные выражения для синуса и косинуса: $ \ctg A = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \cdot \frac{bc}{2S} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S} $.

Проведя аналогичные выкладки для углов $B$ и $C$, получим следующие выражения для их котангенсов: $ \ctg B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S} $
$ \ctg C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S} $

Теперь сложим котангенсы всех трех углов: $ \ctg A + \ctg B + \ctg C = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S} $.

Так как знаменатель у всех дробей одинаковый, сложим их числители: $ \ctg A + \ctg B + \ctg C = \frac{(b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)}{4S} $.

Упростим выражение в числителе, сгруппировав и сократив подобные слагаемые: $ (b^2 - b^2 + b^2) + (c^2 + c^2 - c^2) + (-a^2 + a^2 + a^2) = a^2 + b^2 + c^2 $.

В результате получаем: $ \ctg A + \ctg B + \ctg C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S} $.

Равенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано.