Номер 1259, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1259. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Учитывая, что $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$, докажите, что выполняется равенство:

a) $\sin 2\alpha \cdot \vec{OA} + \sin 2\beta \cdot \vec{OB} + \sin 2\gamma \cdot \vec{OC} = \vec{0}$;

б) $(\text{tg } \beta + \text{tg } \gamma) \cdot \vec{OA} + (\text{tg } \alpha + \text{tg } \gamma) \cdot \vec{OB} + (\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta) \cdot \vec{OC} = \vec{0}$, если треугольник $ABC$ не прямоугольный.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $O$ является началом координат для радиус-векторов вершин $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$. Длины этих векторов равны радиусу $R$ описанной окружности: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

Углы между этими радиус-векторами являются центральными углами, которые вдвое больше соответствующих вписанных углов треугольника:

• Угол между $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ равен $\angle BOC = 2\angle BAC = 2\alpha$.
• Угол между $\vec{OC}$ и $\vec{OA}$ равен $\angle COA = 2\angle ABC = 2\beta$.
• Угол между $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равен $\angle AOB = 2\angle ACB = 2\gamma$.

Сумма этих углов составляет полный угол: $2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 2(\alpha+\beta+\gamma) = 2\pi$.

a)

Необходимо доказать равенство: $\sin(2\alpha)\cdot\vec{OA} + \sin(2\beta)\cdot\vec{OB} + \sin(2\gamma)\cdot\vec{OC} = \vec{0}$.

Обозначим левую часть равенства как вектор $\vec{S}$: $\vec{S} = \sin(2\alpha)\cdot\vec{OA} + \sin(2\beta)\cdot\vec{OB} + \sin(2\gamma)\cdot\vec{OC}$.

Чтобы доказать, что $\vec{S} = \vec{0}$, достаточно показать, что $\vec{S}$ ортогонален двум неколлинеарным векторам, например $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Поскольку $\vec{S}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$, он лежит в той же плоскости, что и треугольник $ABC$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{S}$ на вектор $\vec{OA}$: $\vec{S} \cdot \vec{OA} = (\sin(2\alpha)\vec{OA} + \sin(2\beta)\vec{OB} + \sin(2\gamma)\vec{OC}) \cdot \vec{OA}$ $\vec{S} \cdot \vec{OA} = \sin(2\alpha)(\vec{OA} \cdot \vec{OA}) + \sin(2\beta)(\vec{OB} \cdot \vec{OA}) + \sin(2\gamma)(\vec{OC} \cdot \vec{OA})$

Используем свойства скалярного произведения и известные нам величины:

• $\vec{OA} \cdot \vec{OA} = |\vec{OA}|^2 = R^2$
• $\vec{OB} \cdot \vec{OA} = |\vec{OB}||\vec{OA}|\cos(\angle AOB) = R^2\cos(2\gamma)$
• $\vec{OC} \cdot \vec{OA} = |\vec{OC}||\vec{OA}|\cos(\angle COA) = R^2\cos(2\beta)$

Подставив эти выражения, получим: $\vec{S} \cdot \vec{OA} = \sin(2\alpha)R^2 + \sin(2\beta)R^2\cos(2\gamma) + \sin(2\gamma)R^2\cos(2\beta)$ $\vec{S} \cdot \vec{OA} = R^2 (\sin(2\alpha) + \sin(2\beta)\cos(2\gamma) + \cos(2\beta)\sin(2\gamma))$

Выражение в скобках является формулой синуса суммы $\sin(X+Y) = \sin X \cos Y + \cos X \sin Y$: $\vec{S} \cdot \vec{OA} = R^2 (\sin(2\alpha) + \sin(2\beta + 2\gamma))$

Так как сумма углов в треугольнике $\alpha+\beta+\gamma = \pi$, то $\beta+\gamma = \pi-\alpha$, и $2\beta+2\gamma = 2\pi-2\alpha$. Следовательно, $\sin(2\beta+2\gamma) = \sin(2\pi-2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

Подставим это значение: $\vec{S} \cdot \vec{OA} = R^2 (\sin(2\alpha) - \sin(2\alpha)) = 0$.

Скалярное произведение равно нулю, значит, вектор $\vec{S}$ ортогонален вектору $\vec{OA}$. По симметрии можно аналогично доказать, что $\vec{S} \cdot \vec{OB} = 0$. Так как вектор $\vec{S}$ лежит в плоскости треугольника и ортогонален двум неколлинеарным векторам $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ в этой плоскости, он должен быть нулевым вектором.

Следовательно, $\sin(2\alpha)\cdot\vec{OA} + \sin(2\beta)\cdot\vec{OB} + \sin(2\gamma)\cdot\vec{OC} = \vec{0}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Необходимо доказать равенство: $(\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma)\cdot\vec{OA} + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\gamma)\cdot\vec{OB} + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta)\cdot\vec{OC} = \vec{0}$, если треугольник $ABC$ не прямоугольный.

Условие, что треугольник не прямоугольный, означает, что углы $\alpha, \beta, \gamma$ не равны $\pi/2$, поэтому их тангенсы определены.

Преобразуем коэффициенты при векторах в левой части равенства. Для первого коэффициента имеем: $\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} = \frac{\sin\beta\cos\gamma + \cos\beta\sin\gamma}{\cos\beta\cos\gamma} = \frac{\sin(\beta+\gamma)}{\cos\beta\cos\gamma}$

Используя свойство суммы углов треугольника $\beta+\gamma = \pi - \alpha$, получаем $\sin(\beta+\gamma) = \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$. Таким образом, $\text{tg}\beta + \text{tg}\gamma = \frac{\sin\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}$.

Аналогично для других коэффициентов: $\text{tg}\alpha + \text{tg}\gamma = \frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha\cos\gamma} = \frac{\sin\beta}{\cos\alpha\cos\gamma}$ $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\gamma}{\cos\alpha\cos\beta}$

Подставим преобразованные коэффициенты в исходное выражение: $\frac{\sin\alpha}{\cos\beta\cos\gamma}\cdot\vec{OA} + \frac{\sin\beta}{\cos\alpha\cos\gamma}\cdot\vec{OB} + \frac{\sin\gamma}{\cos\alpha\cos\beta}\cdot\vec{OC} = \vec{0}$

Так как треугольник не прямоугольный, $\cos\alpha \neq 0$, $\cos\beta \neq 0$ и $\cos\gamma \neq 0$. Поэтому мы можем умножить обе части равенства на ненулевой множитель $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$: $\sin\alpha\cos\alpha\cdot\vec{OA} + \sin\beta\cos\beta\cdot\vec{OB} + \sin\gamma\cos\gamma\cdot\vec{OC} = \vec{0}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, мы можем переписать это равенство как: $\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\cdot\vec{OA} + \frac{1}{2}\sin(2\beta)\cdot\vec{OB} + \frac{1}{2}\sin(2\gamma)\cdot\vec{OC} = \vec{0}$

Умножив обе части на 2, получаем: $\sin(2\alpha)\cdot\vec{OA} + \sin(2\beta)\cdot\vec{OB} + \sin(2\gamma)\cdot\vec{OC} = \vec{0}$

Это в точности тождество, доказанное в пункте а). Следовательно, исходное равенство также верно.

Ответ: Равенство доказано.