Номер 1261, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1261. В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся сто- рон $BC, AC, AB$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно. Докажи- те, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке $J$ и при этом $(p-a) \cdot \vec{JA} + (p-b) \cdot \vec{JB} + (p-c) \cdot \vec{JC} = \vec{0}$, где $a = BC, b = AC, c = AB, 2p = a + b + c.$

Задача состоит из двух частей: 1) доказать, что прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ (чевианы) пересекаются в одной точке, и 2) доказать для этой точки $J$ заданное векторное тождество.

1. Доказательство пересечения прямых $AA_1, BB_1, CC_1$ в одной точке $J$

Для доказательства того, что три чевианы треугольника пересекаются в одной точке, удобно использовать теорему Чевы. В данном случае мы применим её в тригонометрической форме или в форме отношений отрезков. Используем второй вариант.

Пусть $a, b, c$ — длины сторон $BC, AC, AB$ соответственно, а $p = (a+b+c)/2$ — полупериметр треугольника $ABC$. Точки $A_1, B_1, C_1$ являются точками касания вписанной окружности со сторонами $BC, AC, AB$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, мы имеем следующие равенства: $AC_1 = AB_1$, $BA_1 = BC_1$, $CA_1 = CB_1$.

Обозначим эти длины как $x, y, z$: $x = AC_1 = AB_1$ $y = BC_1 = BA_1$ $z = CA_1 = CB_1$

Тогда длины сторон треугольника можно выразить как: $c = AB = AC_1 + C_1B = x + y$ $a = BC = BA_1 + A_1C = y + z$ $b = AC = AB_1 + B_1A = x + z$

Сложив эти три равенства, получим: $a + b + c = 2(x + y + z)$, что равно $2p$. Следовательно, $x + y + z = p$.

Теперь выразим $x, y, z$ через $a, b, c, p$: $x = (x+y+z) - (y+z) = p - a$ $y = (x+y+z) - (x+z) = p - b$ $z = (x+y+z) - (x+y) = p - c$

Таким образом, мы нашли длины отрезков, на которые точки касания делят стороны треугольника: $AC_1 = AB_1 = p - a$ $BC_1 = BA_1 = p - b$ $CB_1 = CA_1 = p - c$

Согласно теореме Чевы, прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: $ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $

Подставим найденные длины отрезков в это выражение: $ \frac{p-a}{p-b} \cdot \frac{p-b}{p-c} \cdot \frac{p-c}{p-a} = 1 $

После сокращения дробей получаем $1 = 1$. Равенство выполняется, следовательно, прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ пересекаются в одной точке. Эту точку $J$ называют точкой Жергонна.

Ответ: Первая часть утверждения доказана.

2. Анализ и доказательство векторного тождества

Нам нужно доказать, что для точки пересечения $J$ выполняется тождество: $ (p - a)\cdot\overrightarrow{JA} + (p - b)\cdot\overrightarrow{JB} + (p - c)\cdot\overrightarrow{JC} = \vec{0} $

Векторное равенство вида $w_A\overrightarrow{JA} + w_B\overrightarrow{JB} + w_C\overrightarrow{JC} = \vec{0}$ означает, что точка $J$ является барицентром (центром масс) вершин $A, B, C$ с массами (весами) $w_A, w_B, w_C$.

Веса барицентра точки пересечения чевиан (в нашем случае точки Жергонна $J$) связаны с отношениями, в которых чевианы делят стороны треугольника. Для точки $J$ веса $w_A, w_B, w_C$ удовлетворяют соотношениям: $ \frac{w_B}{w_A} = \frac{AC_1}{C_1B}, \quad \frac{w_C}{w_B} = \frac{BA_1}{A_1C}, \quad \frac{w_A}{w_C} = \frac{CB_1}{B_1A} $

Подставим известные нам отношения отрезков: $ \frac{w_B}{w_A} = \frac{p-a}{p-b} $ $ \frac{w_C}{w_B} = \frac{p-b}{p-c} $ $ \frac{w_A}{w_C} = \frac{p-c}{p-a} $

Из этих соотношений можно найти сами веса с точностью до постоянного множителя. Например, можно выбрать: $ w_A = \frac{1}{p-a}, \quad w_B = \frac{1}{p-b}, \quad w_C = \frac{1}{p-c} $ Действительно, при таком выборе все соотношения выполняются. Например, $w_B/w_A = (1/(p-b))/(1/(p-a)) = (p-a)/(p-b)$.

Таким образом, для точки Жергонна $J$ истинное векторное тождество имеет вид: $ \frac{1}{p-a}\overrightarrow{JA} + \frac{1}{p-b}\overrightarrow{JB} + \frac{1}{p-c}\overrightarrow{JC} = \vec{0} $ Это равенство можно также записать, умножив на $(p-a)(p-b)(p-c)$: $ (p-b)(p-c)\overrightarrow{JA} + (p-a)(p-c)\overrightarrow{JB} + (p-a)(p-b)\overrightarrow{JC} = \vec{0} $

Векторное тождество, указанное в условии задачи, $ (p - a)\cdot\overrightarrow{JA} + (p - b)\cdot\overrightarrow{JB} + (p - c)\cdot\overrightarrow{JC} = \vec{0} $, соответствует барицентрическим весам $w_A' = p-a, w_B' = p-b, w_C' = p-c$. Точка, определяемая этими весами, называется точкой Нагеля. Она является точкой пересечения чевиан, соединяющих вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей.

Точка Жергонна и точка Нагеля совпадают только в равностороннем треугольнике. Для произвольного треугольника это разные точки. Следовательно, в условии задачи, по всей видимости, допущена ошибка: для точки пересечения $J$ прямых $AA_1, BB_1, CC_1$ (точки Жергонна) должно выполняться другое векторное равенство.

Докажем тождество, которое действительно выполняется для точки Жергонна, на основе определения барицентра. По определению, точка $J$ с весами $w_A, w_B, w_C$ имеет радиус-вектор $\overrightarrow{OJ} = \frac{w_A\overrightarrow{OA} + w_B\overrightarrow{OB} + w_C\overrightarrow{OC}}{w_A+w_B+w_C}$ для произвольного начала координат $O$. Выбрав $O=J$, получаем $\vec{0} = \frac{w_A\overrightarrow{JA} + w_B\overrightarrow{JB} + w_C\overrightarrow{JC}}{w_A+w_B+w_C}$, откуда следует $w_A\overrightarrow{JA} + w_B\overrightarrow{JB} + w_C\overrightarrow{JC} = \vec{0}$. Как мы установили ранее, для точки Жергонна $J$ веса равны $w_A = k\frac{1}{p-a}, w_B = k\frac{1}{p-b}, w_C = k\frac{1}{p-c}$. Подставляя их и сокращая на $k$, получаем искомое тождество.

Ответ: Прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ действительно пересекаются в одной точке $J$. Однако указанное в задаче векторное тождество в общем случае для этой точки неверно. Правильное тождество для точки $J$ (точки Жергонна) имеет вид $ \frac{1}{p-a}\overrightarrow{JA} + \frac{1}{p-b}\overrightarrow{JB} + \frac{1}{p-c}\overrightarrow{JC} = \vec{0} $.