Номер 1264, страница 172 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1264. В плоскости правильного треугольника $ABC$ отмечена точка $K$.

Отрезки $KA$, $KB$, $KC$ проецируются соответственно на прямые $BC$, $CA$, $AB$ (рис. 367). Докажите, что сумма двух из этих проекций равна третьей.

Рис. 367

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом.

1. Введение векторов и системы координат

Пусть дан правильный треугольник $ABC$. Выберем начало координат $O$ в центре треугольника (центре описанной и вписанной окружностей, а также точке пересечения медиан). В этом случае сумма радиус-векторов вершин треугольника равна нулевому вектору:$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{0}$. Для удобства будем обозначать радиус-векторы точек $A, B, C, K$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{k}$ соответственно.

Введем единичные векторы, направленные вдоль сторон треугольника, например, в направлении обхода $A \to B \to C \to A$:$\vec{u}_{AB}$, $\vec{u}_{BC}$, $\vec{u}_{CA}$. Поскольку треугольник $ABC$ правильный, эти векторы при параллельном переносе в начало координат будут образовывать углы $120^\circ$ друг с другом. Их сумма равна нулю:$\vec{u}_{AB} + \vec{u}_{BC} + \vec{u}_{CA} = \vec{0}$.

2. Вычисление суммы знаковых проекций

Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая может быть положительной или отрицательной (знаковая проекция). Длина проекции — это модуль этой величины.

Согласно условию, нам нужно найти проекции отрезков $KA, KB, KC$ на прямые $BC, CA, AB$ соответственно. Векторно это отрезки $\vec{KA} = \vec{a} - \vec{k}$, $\vec{KB} = \vec{b} - \vec{k}$, $\vec{KC} = \vec{c} - \vec{k}$.

Обозначим знаковые проекции как $p_a, p_b, p_c$:

• $p_a$ — проекция $\vec{KA}$ на направление $\vec{u}_{BC}$: $p_a = (\vec{a} - \vec{k}) \cdot \vec{u}_{BC}$
• $p_b$ — проекция $\vec{KB}$ на направление $\vec{u}_{CA}$: $p_b = (\vec{b} - \vec{k}) \cdot \vec{u}_{CA}$
• $p_c$ — проекция $\vec{KC}$ на направление $\vec{u}_{AB}$: $p_c = (\vec{c} - \vec{k}) \cdot \vec{u}_{AB}$

Найдем сумму этих знаковых проекций:

$S = p_a + p_b + p_c = (\vec{a} - \vec{k}) \cdot \vec{u}_{BC} + (\vec{b} - \vec{k}) \cdot \vec{u}_{CA} + (\vec{c} - \vec{k}) \cdot \vec{u}_{AB}$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (\vec{a} \cdot \vec{u}_{BC} + \vec{b} \cdot \vec{u}_{CA} + \vec{c} \cdot \vec{u}_{AB}) - \vec{k} \cdot (\vec{u}_{BC} + \vec{u}_{CA} + \vec{u}_{AB})$

Рассмотрим каждое из двух слагаемых в скобках.

Второе слагаемое равно нулю, так как, как мы установили ранее, сумма единичных векторов сторон правильного треугольника, взятых по циклу, равна нулю:$\vec{k} \cdot (\vec{u}_{BC} + \vec{u}_{CA} + \vec{u}_{AB}) = \vec{k} \cdot \vec{0} = 0$.

Первое слагаемое также равно нулю. Поскольку начало координат выбрано в центре правильного треугольника, радиус-вектор каждой вершины перпендикулярен противоположной стороне.

• Вектор $\vec{a}$ (вектор $OA$) перпендикулярен стороне $BC$, а значит, и вектору $\vec{u}_{BC}$. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{u}_{BC} = 0$.
• Аналогично, вектор $\vec{b}$ перпендикулярен стороне $CA$: $\vec{b} \cdot \vec{u}_{CA} = 0$.
• И вектор $\vec{c}$ перпендикулярен стороне $AB$: $\vec{c} \cdot \vec{u}_{AB} = 0$.

Таким образом, первая скобка представляет собой сумму нулей: $0 + 0 + 0 = 0$.

Итак, мы доказали, что сумма знаковых проекций равна нулю:

$p_a + p_b + p_c = 0$

3. Вывод о длинах проекций

Длины проекций — это абсолютные значения (модули) знаковых проекций. Обозначим их $L_a, L_b, L_c$:

$L_a = |p_a|$, $L_b = |p_b|$, $L_c = |p_c|$.

Равенство $p_a + p_b + p_c = 0$ означает, что одна из знаковых проекций равна сумме двух других, взятой с противоположным знаком. Например, $p_c = -(p_a + p_b)$.

Это возможно в одном из двух случаев (если ни одна проекция не равна нулю):

1. Две проекции положительны, а одна отрицательна. Например, $p_a > 0$, $p_b > 0$, $p_c < 0$. Тогда $L_a=p_a, L_b=p_b, L_c=-p_c$. Подставляя в равенство, получаем $L_a + L_b - L_c = 0$, откуда $L_a + L_b = L_c$.
2. Одна проекция положительна, а две отрицательны. Например, $p_a > 0$, $p_b < 0$, $p_c < 0$. Тогда $L_a=p_a, L_b=-p_b, L_c=-p_c$. Подставляя в равенство, получаем $L_a - L_b - L_c = 0$, откуда $L_a = L_b + L_c$.

В любом случае, длина одной из проекций равна сумме длин двух других. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма длин двух из указанных проекций равна длине третьей проекции.