Номер 1258, страница 171 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1258. Стороны $AB$, $AC$, $BC$ треугольника $ABC$ соответственно равны $c$, $b$, $a$. Докажите, что точка $Q$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, тогда и только тогда, когда $a \cdot \vec{QA} + b \cdot \vec{QB} + c \cdot \vec{QC} = \vec{0}$.

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда, когда" необходимо доказать два утверждения: прямое и обратное.

Обозначим стороны треугольника $ABC$: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$.

1. Необходимость (⇒)

Докажем, что если точка $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то выполняется равенство $a \cdot \overline{QA} + b \cdot \overline{QB} + c \cdot \overline{QC} = \overline{0}$.

Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Пусть $AA_1$ — биссектриса угла $A$, где точка $A_1$ лежит на стороне $BC$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон:

$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$

Из этого отношения следует, что для любой точки $O$ (начала отсчета) радиус-вектор точки $A_1$ выражается через радиус-векторы точек $B$ и $C$ следующим образом:

$\overline{OA_1} = \frac{b \cdot \overline{OB} + c \cdot \overline{OC}}{b+c}$

Точка $Q$ (инцентр) лежит на биссектрисе $AA_1$. Рассмотрим треугольник $ABA_1$ и биссектрису $BQ$ угла $B$. По свойству биссектрисы для этого треугольника:

$\frac{AQ}{QA_1} = \frac{AB}{BA_1}$

Найдем длину отрезка $BA_1$. Так как $BA_1 + A_1C = a$ и $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{c}{b}$, получаем $BA_1 = \frac{c}{b+c} a$.

Тогда отношение $\frac{AQ}{QA_1} = \frac{c}{ \frac{ac}{b+c} } = \frac{b+c}{a}$.

Это означает, что точка $Q$ делит отрезок $AA_1$ в отношении $(b+c):a$. Радиус-вектор точки $Q$ можно выразить через радиус-векторы точек $A$ и $A_1$:

$\overline{OQ} = \frac{a \cdot \overline{OA} + (b+c) \cdot \overline{OA_1}}{a+(b+c)}$

Подставим выражение для $\overline{OA_1}$:

$\overline{OQ} = \frac{a \cdot \overline{OA} + (b+c) \cdot \frac{b \cdot \overline{OB} + c \cdot \overline{OC}}{b+c}}{a+b+c} = \frac{a \cdot \overline{OA} + b \cdot \overline{OB} + c \cdot \overline{OC}}{a+b+c}$

Это известная формула для радиус-вектора инцентра.

Умножим обе части на $(a+b+c)$:

$(a+b+c) \overline{OQ} = a \cdot \overline{OA} + b \cdot \overline{OB} + c \cdot \overline{OC}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$a \cdot \overline{OA} - a \cdot \overline{OQ} + b \cdot \overline{OB} - b \cdot \overline{OQ} + c \cdot \overline{OC} - c \cdot \overline{OQ} = \overline{0}$

$a(\overline{OA} - \overline{OQ}) + b(\overline{OB} - \overline{OQ}) + c(\overline{OC} - \overline{OQ}) = \overline{0}$

По определению разности векторов $\overline{XY} = \overline{OY} - \overline{OX}$, имеем $\overline{QA} = \overline{OA} - \overline{OQ}$ и т.д. Таким образом, получаем:

$a \cdot \overline{QA} + b \cdot \overline{QB} + c \cdot \overline{QC} = \overline{0}$

Прямое утверждение доказано.

2. Достаточность (⇐)

Докажем, что если для точки $Q$ выполняется равенство $a \cdot \overline{QA} + b \cdot \overline{QB} + c \cdot \overline{QC} = \overline{0}$, то $Q$ — центр вписанной окружности.

Пусть дано равенство $a \cdot \overline{QA} + b \cdot \overline{QB} + c \cdot \overline{QC} = \overline{0}$. Выберем точку $A$ в качестве начала отсчета. Тогда $\overline{AA} = \overline{0}$ и $\overline{QA} = \overline{AA} - \overline{AQ} = -\overline{AQ}$. Векторы $\overline{QB}$ и $\overline{QC}$ можно выразить как $\overline{QB} = \overline{AB} - \overline{AQ}$ и $\overline{QC} = \overline{AC} - \overline{AQ}$.

Подставим это в исходное равенство:

$a(-\overline{AQ}) + b(\overline{AB} - \overline{AQ}) + c(\overline{AC} - \overline{AQ}) = \overline{0}$

$-a \cdot \overline{AQ} + b \cdot \overline{AB} - b \cdot \overline{AQ} + c \cdot \overline{AC} - c \cdot \overline{AQ} = \overline{0}$

Сгруппируем слагаемые с $\overline{AQ}$:

$-(a+b+c) \overline{AQ} + b \cdot \overline{AB} + c \cdot \overline{AC} = \overline{0}$

$(a+b+c) \overline{AQ} = b \cdot \overline{AB} + c \cdot \overline{AC}$

$\overline{AQ} = \frac{b \cdot \overline{AB} + c \cdot \overline{AC}}{a+b+c}$

Рассмотрим вектор $\overline{v} = b \cdot \overline{AB} + c \cdot \overline{AC}$. Этот вектор сонаправлен с вектором биссектрисы угла $A$. Чтобы это показать, рассмотрим единичные векторы $\overline{e_1} = \frac{\overline{AB}}{c}$ и $\overline{e_2} = \frac{\overline{AC}}{b}$. Сумма этих единичных векторов $\overline{e_1} + \overline{e_2}$ направлена по биссектрисе угла $A$.

$\overline{v} = b(c \cdot \overline{e_1}) + c(b \cdot \overline{e_2}) = bc(\overline{e_1} + \overline{e_2})$

Так как $bc > 0$, вектор $\overline{v}$ сонаправлен с вектором $\overline{e_1} + \overline{e_2}$, то есть направлен по биссектрисе угла $A$.

Поскольку $\overline{AQ} = k \cdot \overline{v}$ (где $k = \frac{1}{a+b+c} > 0$), вектор $\overline{AQ}$ также направлен по биссектрисе угла $A$. Это означает, что точка $Q$ лежит на биссектрисе угла $A$.

Аналогично, выбрав за начало отсчета точку $B$, из исходного равенства можно получить:

$\overline{BQ} = \frac{a \cdot \overline{BA} + c \cdot \overline{BC}}{a+b+c}$

Это показывает, что вектор $\overline{BQ}$ направлен по биссектрисе угла $B$, и, следовательно, точка $Q$ лежит на биссектрисе угла $B$.

Поскольку точка $Q$ лежит на пересечении двух биссектрис треугольника, она является центром вписанной в него окружности. Обратное утверждение доказано.

Так как доказаны и необходимость, и достаточность, исходное утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано.