Номер 1251, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1251. Докажите, что если в тетраэдре центр описанной окружности является центром тяжести, то противоположные ребра этого тетраэдра попарно равны.

Пусть вершины тетраэдра $A, B, C, D$ заданы радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$. Выберем начало координат в центре описанной сферы тетраэдра.

Так как начало координат — центр описанной сферы радиуса $R$, то все вершины тетраэдра равноудалены от него. Это означает, что длины радиус-векторов вершин равны:
$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$.
В виде скалярных квадратов это можно записать как:
$\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = \vec{c}^2 = \vec{d}^2 = R^2$.

Центр тяжести (центроид) тетраэдра — это точка, радиус-вектор которой равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$.

По условию задачи, центр описанной сферы совпадает с центром тяжести. Поскольку мы поместили начало координат в центр описанной сферы (его радиус-вектор равен $\vec{0}$), то и радиус-вектор центра тяжести должен быть равен $\vec{0}$:
$\vec{m} = \vec{0}$
$\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4} = \vec{0}$
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$.

Теперь докажем попарное равенство противоположных ребер. Противоположными ребрами являются пары $(AB, CD)$, $(AC, BD)$ и $(AD, BC)$.

1. Сравним длины ребер $AB$ и $CD$.
Найдем квадраты их длин:
$|AB|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{a}^2 = 2R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|CD|^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2 = (\vec{d} - \vec{c}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = \vec{d}^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + \vec{c}^2 = 2R^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{d})$.
Из основного векторного равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ выразим сумму векторов: $\vec{a} + \vec{b} = -(\vec{c} + \vec{d})$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат (скалярно):
$(\vec{a} + \vec{b})^2 = (-(\vec{c} + \vec{d}))^2$
$\vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2 = \vec{c}^2 + 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + \vec{d}^2$
Подставим известные значения квадратов векторов:
$R^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + R^2 = R^2 + 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + R^2$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2(\vec{c} \cdot \vec{d})$, откуда $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{d}$.
Следовательно, $|AB|^2 = 2R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2R^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) = |CD|^2$.
Таким образом, $|AB| = |CD|$.

2. Сравним длины ребер $AC$ и $BD$.
Аналогично, из равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ следует, что $\vec{a} + \vec{c} = -(\vec{b} + \vec{d})$.
Возводя в квадрат, получаем:
$(\vec{a} + \vec{c})^2 = (-(\vec{b} + \vec{d}))^2$
$\vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + \vec{c}^2 = \vec{b}^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{d}) + \vec{d}^2$
$2R^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 2R^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{d})$, откуда $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d}$.
Квадраты длин ребер равны:
$|AC|^2 = \vec{a}^2 + \vec{c}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 2R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$|BD|^2 = \vec{b}^2 + \vec{d}^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{d}) = 2R^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{d})$.
Так как $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d}$, то $|AC|^2 = |BD|^2$, и $|AC| = |BD|$.

3. Сравним длины ребер $AD$ и $BC$.
Аналогично, из равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ следует, что $\vec{a} + \vec{d} = -(\vec{b} + \vec{c})$.
Возводя в квадрат, получаем:
$(\vec{a} + \vec{d})^2 = (-(\vec{b} + \vec{c}))^2$
$\vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) + \vec{d}^2 = \vec{b}^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + \vec{c}^2$
$2R^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 2R^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$, откуда $\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$.
Квадраты длин ребер равны:
$|AD|^2 = \vec{a}^2 + \vec{d}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) = 2R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{d})$.
$|BC|^2 = \vec{b}^2 + \vec{c}^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 2R^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
Так как $\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$, то $|AD|^2 = |BC|^2$, и $|AD| = |BC|$.

Мы доказали, что $|AB|=|CD|$, $|AC|=|BD|$ и $|AD|=|BC|$. Следовательно, противоположные ребра тетраэдра попарно равны.
Что и требовалось доказать.