Номер 1247, страница 170 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1247. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ совпадают точки пересечения медиан. Докажите, что сумма девяти квадратов расстояний между вершинами разных треугольников зависит только от длин сторон треугольников и не зависит от их взаимного расположения.

Пусть $G$ — общая точка пересечения медиан (центроид) треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало отсчета в точку $G$. Тогда радиус-векторы вершин треугольников будут $\vec{GA}, \vec{GB}, \vec{GC}$ и $\vec{GA_1}, \vec{GB_1}, \vec{GC_1}$. Для краткости будем обозначать их $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}$ соответственно.

По свойству центроида, сумма радиус-векторов вершин треугольника, проведенных из центроида, равна нулевому вектору. Таким образом, имеем:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

$\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1} = \vec{0}$

Нам нужно доказать, что сумма девяти квадратов расстояний между вершинами разных треугольников, которую обозначим $S$, зависит только от длин сторон этих треугольников. Эта сумма имеет вид:

$S = AA_1^2 + AB_1^2 + AC_1^2 + BA_1^2 + BB_1^2 + BC_1^2 + CA_1^2 + CB_1^2 + CC_1^2$

Выразим эту сумму через векторы. Квадрат расстояния между двумя точками $X$ и $Y$ равен квадрату модуля вектора, соединяющего эти точки: $XY^2 = |\vec{XY}|^2 = |\vec{y} - \vec{x}|^2$.

$S = |\vec{a_1} - \vec{a}|^2 + |\vec{b_1} - \vec{a}|^2 + |\vec{c_1} - \vec{a}|^2 + |\vec{a_1} - \vec{b}|^2 + |\vec{b_1} - \vec{b}|^2 + |\vec{c_1} - \vec{b}|^2 + |\vec{a_1} - \vec{c}|^2 + |\vec{b_1} - \vec{c}|^2 + |\vec{c_1} - \vec{c}|^2$

Раскроем квадраты модулей по правилу $(\vec{u} - \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2$ и сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем слагаемые, относящиеся к вершине $A$ треугольника $ABC$:

$(AA_1^2 + AB_1^2 + AC_1^2) = (|\vec{a_1}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{a_1} + |\vec{a}|^2) + (|\vec{b_1}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b_1} + |\vec{a}|^2) + (|\vec{c_1}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c_1} + |\vec{a}|^2)$

$= 3|\vec{a}|^2 + (|\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2) - 2\vec{a}\cdot(\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1})$

Так как $\vec{a_1} + \vec{b_1} + \vec{c_1} = \vec{0}$, последнее слагаемое равно нулю. Таким образом, сумма для вершины $A$ равна:

$3|\vec{a}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2$

Аналогично, для вершин $B$ и $C$ получим:

$BA_1^2 + BB_1^2 + BC_1^2 = 3|\vec{b}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2$

$CA_1^2 + CB_1^2 + CC_1^2 = 3|\vec{c}|^2 + |\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2$

Сложив эти три выражения, получим полную сумму $S$:

$S = (3|\vec{a}|^2 + 3|\vec{b}|^2 + 3|\vec{c}|^2) + 3(|\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2)$

$S = 3(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) + 3(|\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2)$

Теперь выразим суммы квадратов длин векторов через стороны треугольников. Величина $|\vec{a}|^2$ — это квадрат расстояния от вершины $A$ до центроида $G$, то есть $GA^2$. Сумма квадратов расстояний от вершин до центроида связана с суммой квадратов сторон треугольника (формула Лейбница):

$GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{1}{3}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$

Пусть стороны треугольника $ABC$ имеют длины $c, a, b$, а стороны треугольника $A_1B_1C_1$ — $c_1, a_1, b_1$ соответственно. Тогда:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$

$|\vec{a_1}|^2 + |\vec{b_1}|^2 + |\vec{c_1}|^2 = GA_1^2 + GB_1^2 + GC_1^2 = \frac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}{3}$

Подставим эти выражения в формулу для $S$:

$S = 3\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\right) + 3\left(\frac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}{3}\right)$

$S = (a^2+b^2+c^2) + (a_1^2+b_1^2+c_1^2)$

Полученное выражение показывает, что искомая сумма квадратов расстояний равна сумме квадратов длин всех шести сторон обоих треугольников. Эта величина зависит только от длин сторон треугольников и не зависит от их взаимного расположения (например, от поворота одного треугольника относительно другого вокруг общего центроида), что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая сумма равна $(AB^2+BC^2+CA^2) + (A_1B_1^2+B_1C_1^2+C_1A_1^2)$. Эта величина зависит только от длин сторон треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ и не зависит от их взаимного расположения.