Номер 1241, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1241. Докажите, что для любых точек $A, B, C, D$ существует единственная точка $M$ такая, что:

а) $ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}; $

б) через нее проходят отрезки, соединяющие каждую точку $A, B, C, D$ с точкой пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются три другие точки.

а) Для решения задачи введем радиус-векторы. Пусть $O$ — произвольное начало координат в пространстве. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, D, M$ как $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D, \vec{r}_M$ соответственно.

Вектор $\vec{MA}$ можно выразить через радиус-векторы его начала и конца: $\vec{MA} = \vec{r}_A - \vec{r}_M$. Аналогично для остальных векторов: $\vec{MB} = \vec{r}_B - \vec{r}_M$, $\vec{MC} = \vec{r}_C - \vec{r}_M$, $\vec{MD} = \vec{r}_D - \vec{r}_M$.

Подставим эти выражения в данное в условии равенство: $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}$ $(\vec{r}_A - \vec{r}_M) + (\vec{r}_B - \vec{r}_M) + (\vec{r}_C - \vec{r}_M) + (\vec{r}_D - \vec{r}_M) = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые: $(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D) - 4\vec{r}_M = \vec{0}$

Отсюда выразим радиус-вектор точки $M$: $4\vec{r}_M = \vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D$ $\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D}{4}$

Поскольку точки $A, B, C, D$ — произвольные, но фиксированные, их радиус-векторы $\vec{r}_A, \vec{r}_B, \vec{r}_C, \vec{r}_D$ определены однозначно (при выборе начала координат $O$). Следовательно, радиус-вектор $\vec{r}_M$ также определяется однозначно. Каждому радиус-вектору соответствует единственная точка в пространстве. Таким образом, точка $M$ существует и единственна.

Ответ: Доказано, что существует единственная точка $M$, удовлетворяющая данному условию, и ее радиус-вектор равен $\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D}{4}$.

б) Докажем, что точка $M$, найденная в пункте а), является точкой пересечения указанных отрезков. Рассмотрим отрезок, соединяющий точку $A$ с точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $BCD$. Обозначим этот центроид как $M_A$.

Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Таким образом, радиус-вектор точки $M_A$ равен: $\vec{r}_{M_A} = \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D}{3}$

Чтобы доказать, что точка $M$ лежит на отрезке $AM_A$, нужно показать, что ее радиус-вектор $\vec{r}_M$ является выпуклой линейной комбинацией векторов $\vec{r}_A$ и $\vec{r}_{M_A}$, то есть $\vec{r}_M = (1-k)\vec{r}_A + k\vec{r}_{M_A}$ для некоторого $k \in [0, 1]$.

Преобразуем выражение для $\vec{r}_M$ из пункта а), используя выражение для $\vec{r}_{M_A}$: $\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D}{4} = \frac{1}{4}\vec{r}_A + \frac{3}{4} \left( \frac{\vec{r}_B + \vec{r}_C + \vec{r}_D}{3} \right) = \frac{1}{4}\vec{r}_A + \frac{3}{4}\vec{r}_{M_A}$

Мы получили представление $\vec{r}_M$ в виде $\vec{r}_M = (1-k)\vec{r}_A + k\vec{r}_{M_A}$, где $k = \frac{3}{4}$. Так как $0 < \frac{3}{4} < 1$, точка $M$ лежит на отрезке $AM_A$ и делит его в отношении $3:1$, считая от вершины $A$.

Аналогично рассматриваются остальные три отрезка. Пусть $M_B$ — центроид $\triangle ACD$, $M_C$ — центроид $\triangle ABD$, $M_D$ — центроид $\triangle ABC$. Их радиус-векторы: $\vec{r}_{M_B} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_C + \vec{r}_D}{3}$ $\vec{r}_{M_C} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_D}{3}$ $\vec{r}_{M_D} = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$

Тогда радиус-вектор точки $M$ можно представить следующими способами: $\vec{r}_M = \frac{1}{4}\vec{r}_B + \frac{3}{4}\vec{r}_{M_B}$ $\vec{r}_M = \frac{1}{4}\vec{r}_C + \frac{3}{4}\vec{r}_{M_C}$ $\vec{r}_M = \frac{1}{4}\vec{r}_D + \frac{3}{4}\vec{r}_{M_D}$

Каждое из этих равенств доказывает, что точка $M$ лежит на соответствующем отрезке ($BM_B$, $CM_C$, $DM_D$). Поскольку точка $M$ принадлежит всем четырем отрезкам, то все они пересекаются в этой точке.

Ответ: Доказано, что точка $M$, определенная в пункте а), является точкой пересечения всех четырех указанных отрезков.