Номер 1239, страница 169 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1239. Дана треугольная пирамида $ABCD$, точки $M$ и $N$ отмечены на прямых $AB$ и $CD$. Докажите, что середины отрезков $MC$, $MD$, $NA$ и $NB$ лежат в одной плоскости.

Для доказательства того, что четыре точки лежат в одной плоскости, мы воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что прямые, соединяющие эти точки попарно (например, диагонали соответствующего четырехугольника), пересекаются или параллельны.

Пусть нам дана система координат с началом в произвольной точке O. Положение любой точки X будем обозначать радиус-вектором $\vec{x} = \vec{OX}$.

По условию, точка M лежит на прямой AB, а точка N — на прямой CD. Это означает, что их радиус-векторы можно выразить через радиус-векторы вершин пирамиды:

$\vec{m} = (1-x)\vec{a} + x\vec{b}$ для некоторого действительного числа $x$.

$\vec{n} = (1-y)\vec{c} + y\vec{d}$ для некоторого действительного числа $y$.

Обозначим середины отрезков MC, MD, NA и NB как P, Q, R и S соответственно. Их радиус-векторы выражаются следующим образом:

• P — середина MC: $\vec{p} = \frac{\vec{m} + \vec{c}}{2}$
• Q — середина MD: $\vec{q} = \frac{\vec{m} + \vec{d}}{2}$
• R — середина NA: $\vec{r} = \frac{\vec{n} + \vec{a}}{2}$
• S — середина NB: $\vec{s} = \frac{\vec{n} + \vec{b}}{2}$

Рассмотрим четырехугольник PRQS. Его диагоналями являются отрезки PQ и RS. В общем случае это пространственный четырехугольник. Чтобы доказать, что точки P, Q, R, S лежат в одной плоскости, мы докажем, что прямые PR и QS либо пересекаются, либо параллельны.

Уравнение прямой PR в параметрическом виде: $\vec{L}_{PR}(\lambda) = (1-\lambda)\vec{p} + \lambda\vec{r}$.

Уравнение прямой QS в параметрическом виде: $\vec{L}_{QS}(\mu) = (1-\mu)\vec{q} + \mu\vec{s}$.

Для того чтобы эти прямые пересекались, должны существовать такие параметры $\lambda$ и $\mu$, что $\vec{L}_{PR}(\lambda) = \vec{L}_{QS}(\mu)$:

$(1-\lambda)\vec{p} + \lambda\vec{r} = (1-\mu)\vec{q} + \mu\vec{s}$

Подставим выражения для векторов $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}$:

$(1-\lambda)\frac{\vec{m} + \vec{c}}{2} + \lambda\frac{\vec{n} + \vec{a}}{2} = (1-\mu)\frac{\vec{m} + \vec{d}}{2} + \mu\frac{\vec{n} + \vec{b}}{2}$

Умножим обе части на 2 и сгруппируем слагаемые при $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$(1-\lambda - (1-\mu))\vec{m} + (\lambda - \mu)\vec{n} + \lambda\vec{a} - \mu\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c} - (1-\mu)\vec{d} = \vec{0}$

$(\mu-\lambda)\vec{m} + (\lambda-\mu)\vec{n} + \lambda\vec{a} - \mu\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c} - (1-\mu)\vec{d} = \vec{0}$

$(\mu-\lambda)(\vec{m}-\vec{n}) + \lambda\vec{a} - \mu\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c} - (1-\mu)\vec{d} = \vec{0}$

Для удобства вычислений выберем начало координат в вершине A, т.е. $\vec{a}=\vec{0}$. Тогда векторы $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ будут линейно независимы (так как A, B, C, D не лежат в одной плоскости).

В этой системе координат:

$\vec{m} = x\vec{b}$

$\vec{n} = (1-y)\vec{c} + y\vec{d}$

Подставим эти выражения в наше векторное уравнение:

$(\mu-\lambda)(x\vec{b} - ((1-y)\vec{c} + y\vec{d})) - \mu\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c} - (1-\mu)\vec{d} = \vec{0}$

Сгруппируем слагаемые при базисных векторах $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$:

$((\mu-\lambda)x - \mu)\vec{b} + ( -(\mu-\lambda)(1-y) + (1-\lambda) )\vec{c} + ( -(\mu-\lambda)y - (1-\mu) )\vec{d} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ линейно независимы, коэффициенты при них должны быть равны нулю:

1. $\mu x - \lambda x - \mu = 0 \implies \mu(x-1) - \lambda x = 0$
2. $-\mu(1-y) + \lambda(1-y) + 1 - \lambda = 0 \implies 1 - \mu(1-y) - \lambda y = 0$
3. $-\mu y + \lambda y - 1 + \mu = 0 \implies -1 + \mu(1-y) + \lambda y = 0$

Заметим, что второе и третье уравнения эквивалентны (сумма их левых частей равна 0). Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $\lambda$ и $\mu$:

$\begin{cases} -x\lambda + (x-1)\mu = 0 \\ y\lambda + (1-y)\mu = 1 \end{cases}$

Рассмотрим определитель этой системы:

$\Delta = \begin{vmatrix} -x & x-1 \\ y & 1-y \end{vmatrix} = -x(1-y) - y(x-1) = -x + xy - xy + y = y-x$

Случай 1: $x \neq y$

В этом случае определитель системы $\Delta \neq 0$, и система имеет единственное решение для $\lambda$ и $\mu$. Это означает, что существует единственная точка пересечения прямых PR и QS. Если прямые пересекаются, то все четыре точки P, Q, R, S лежат в одной плоскости.

Случай 2: $x = y$

В этом случае определитель системы $\Delta = 0$. Система становится:

$\begin{cases} -x\lambda + (x-1)\mu = 0 \\ x\lambda + (1-x)\mu = 1 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем $0 = 1$, что является противоречием. Это означает, что система не имеет решений, и прямые PR и QS не пересекаются. В этом случае они могут быть параллельными. Проверим это, сравнив их направляющие векторы $\vec{v}_{PR} = \vec{r}-\vec{p}$ и $\vec{v}_{QS} = \vec{s}-\vec{q}$ при условии $y=x$ и $\vec{a}=\vec{0}$:

$\vec{v}_{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \frac{\vec{n}+\vec{a}}{2} - \frac{\vec{m}+\vec{c}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{n}-\vec{m}-\vec{c}) = \frac{1}{2}( (1-x)\vec{c}+x\vec{d} - x\vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{2}(-x\vec{b} - x\vec{c} + x\vec{d}) = \frac{x}{2}(-\vec{b}-\vec{c}+\vec{d})$

$\vec{v}_{QS} = \vec{s} - \vec{q} = \frac{\vec{n}+\vec{b}}{2} - \frac{\vec{m}+\vec{d}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{n}+\vec{b}-\vec{m}-\vec{d}) = \frac{1}{2}( (1-x)\vec{c}+x\vec{d} + \vec{b} - x\vec{b} - \vec{d}) = \frac{1}{2}((1-x)\vec{b} + (1-x)\vec{c} + (x-1)\vec{d}) = \frac{1-x}{2}(\vec{b}+\vec{c}-\vec{d})$

Сравнивая векторы, видим, что $\vec{v}_{QS} = -\frac{1-x}{x}\vec{v}_{PR}$ (при $x\neq 0$). Это означает, что направляющие векторы коллинеарны, следовательно, прямые PR и QS параллельны. Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости, а значит и все четыре точки P, Q, R, S лежат в этой плоскости.

(Если $x=0$, то M=A, а $\vec{v}_{PR}=\vec{0}$, то есть PR вырождается в точку P. Если при этом $y=x=0$, то N=C, а R=P. Точки становятся P, Q, P, S, то есть всего три точки, которые всегда лежат в одной плоскости).

Таким образом, во всех случаях прямые PR и QS либо пересекаются, либо параллельны, что доказывает компланарность точек P, Q, R, S.

Ответ: Доказано, что середины отрезков MC, MD, NA и NB лежат в одной плоскости.