Номер 1232, страница 167 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1232. Прямая $l$ проходит через точку пересечения медиан $M$ треугольника $ABC$ и пересекает прямые $BC$, $AC$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно (рис. 362).Докажите, что $\frac{1}{MA_1} = \frac{1}{MB_1} + \frac{1}{MC_1}$.

Рис. 362

Для доказательства воспользуемся методом координат. Поскольку утверждение задачи инвариантно относительно аффинных преобразований плоскости, мы можем выбрать удобную систему координат.

1. Выбор системы координат.

Пусть точка пересечения медиан (центроид) $M$ будет началом координат, то есть $M = (0, 0)$. Прямую $l$, проходящую через $M$, совместим с осью абсцисс (осью $Ox$). Тогда уравнение прямой $l$ будет $y=0$.

2. Свойства координат вершин.

Пусть вершины треугольника $ABC$ имеют координаты $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$. Так как $M$ — центроид треугольника и находится в начале координат, векторная сумма $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$. В координатной форме это означает, что суммы координат вершин равны нулю:

$x_A + x_B + x_C = 0$

$y_A + y_B + y_C = 0$

3. Нахождение координат точек $A_1, B_1, C_1$.

Точки $A_1, B_1, C_1$ — это точки пересечения прямой $l$ (оси $Ox$) со сторонами треугольника. Их ординаты равны нулю.

• Точка $A_1$ — точка пересечения прямой $BC$ и прямой $l$ ($y=0$).
  Уравнение прямой, проходящей через точки $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$, имеет вид:
  $\frac{x - x_B}{x_C - x_B} = \frac{y - y_B}{y_C - y_B}$
  Подставим $y=0$, чтобы найти абсциссу точки $A_1$, которую обозначим $d_A$:
  $\frac{d_A - x_B}{x_C - x_B} = \frac{-y_B}{y_C - y_B} \implies d_A = x_B - \frac{y_B(x_C - x_B)}{y_C - y_B} = \frac{x_B(y_C - y_B) - y_B(x_C - x_B)}{y_C - y_B} = \frac{x_B y_C - x_C y_B}{y_C - y_B}$
  Таким образом, $A_1 = (d_A, 0)$. Величина $d_A$ является ориентированным расстоянием от $M$ до $A_1$.
• Точка $B_1$ — точка пересечения прямой $AC$ и прямой $l$ ($y=0$).
  Аналогично, ее абсцисса $d_B$:
  $d_B = \frac{x_C y_A - x_A y_C}{y_A - y_C}$
• Точка $C_1$ — точка пересечения прямой $AB$ и прямой $l$ ($y=0$).
  Ее абсцисса $d_C$:
  $d_C = \frac{x_A y_B - x_B y_A}{y_B - y_A}$

4. Доказательство тождества для ориентированных расстояний.

Докажем, что сумма обратных величин для ориентированных расстояний равна нулю: $\frac{1}{d_A} + \frac{1}{d_B} + \frac{1}{d_C} = 0$.

Выразим обратные величины:

$\frac{1}{d_A} = \frac{y_C - y_B}{x_B y_C - x_C y_B}$

$\frac{1}{d_B} = \frac{y_A - y_C}{x_C y_A - x_A y_C}$

$\frac{1}{d_C} = \frac{y_B - y_A}{x_A y_B - x_B y_A}$

Используем свойства координат вершин: $x_A = -x_B - x_C$ и $y_A = -y_B - y_C$. Подставим эти выражения в знаменатели для $\frac{1}{d_B}$ и $\frac{1}{d_C}$, чтобы привести их к общему знаменателю.

Знаменатель для $\frac{1}{d_B}$:
$x_C y_A - x_A y_C = x_C(-y_B - y_C) - (-x_B - x_C)y_C = -x_C y_B - x_C y_C + x_B y_C + x_C y_C = x_B y_C - x_C y_B$.

Знаменатель для $\frac{1}{d_C}$:
$x_A y_B - x_B y_A = (-x_B - x_C)y_B - x_B(-y_B - y_C) = -x_B y_B - x_C y_B + x_B y_B + x_B y_C = x_B y_C - x_C y_B$.

Все три дроби имеют одинаковый знаменатель. Теперь сложим их:

$\frac{1}{d_A} + \frac{1}{d_B} + \frac{1}{d_C} = \frac{(y_C - y_B) + (y_A - y_C) + (y_B - y_A)}{x_B y_C - x_C y_B} = \frac{y_C - y_B + y_A - y_C + y_B - y_A}{x_B y_C - x_C y_B} = \frac{0}{x_B y_C - x_C y_B} = 0$.

(Знаменатель не равен нулю, если точки $M, B, C$ не лежат на одной прямой, что выполняется для невырожденного треугольника).

Итак, мы доказали, что $\frac{1}{d_A} + \frac{1}{d_B} + \frac{1}{d_C} = 0$.

5. Переход к длинам отрезков.

Любая прямая $l$, проходящая через центроид $M$, разделяет три точки пересечения $A_1, B_1, C_1$ таким образом, что одна из них находится по одну сторону от $M$, а две другие — по другую. Это означает, что одно из ориентированных расстояний ($d_A, d_B, d_C$) будет иметь знак, противоположный знакам двух других.

Предположим, что $d_A$ имеет один знак, а $d_B$ и $d_C$ — другой (например, $d_A > 0, d_B < 0, d_C < 0$).

Тогда длины отрезков равны: $MA_1 = |d_A| = d_A$, $MB_1 = |d_B| = -d_B$, $MC_1 = |d_C| = -d_C$.

Из доказанного равенства $\frac{1}{d_A} + \frac{1}{d_B} + \frac{1}{d_C} = 0$ следует:

$\frac{1}{d_A} = -\frac{1}{d_B} - \frac{1}{d_C}$

Подставим выражения для длин:

$\frac{1}{MA_1} = \frac{1}{-d_B} + \frac{1}{-d_C} = \frac{1}{MB_1} + \frac{1}{MC_1}$

Таким образом, равенство $\frac{1}{MA_1} = \frac{1}{MB_1} + \frac{1}{MC_1}$ доказано. Конкретный вид равенства зависит от того, какая из точек оказывается по одну сторону от $M$. В общем случае, величина, обратная длине до одной из точек, равна сумме обратных длин до двух других.

Ответ: Утверждение доказано.